תוכן העניינים
\(\:\)עקרונות מנחים לכתיבת פקודותMacros LatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"
- כל פקודה תתחיל ב-MKגדולות עש מיכאל קלי (Michael Kali), וזאת משתי סיבות:
- כדי שבטבלת הקיצורים שבתוך \SpecialChar LyX תופענה כל הפקודות זו לצד זו.
- הבחירה דווקא באותיות גדולות נועדה לוודא שהפקודות אינן מתנגשות עם פקודות \SpecialChar LaTeX מקוריות.
- על הפקודות להיות קצרות ככל האפשר, וזאת כדי לאפשר את כתיבתן במהירות מבלי ליצור להן קיצור מקלדת. הסיבה לכך שלא ניצור קיצור מקלדת לכל פקודה היא שפעמים רבות ניצור פקודות שתיועדנה למקרים מסוימים מאוד, ואז יעבור זמן רב עד שנשתמש בקיצור המקלדת בפעם הבאה ולכן לא נזכור אותו - הרבה יותר פשוט לזכור את הפקודה שיצרנו מכיוון שיש לה תוכן אמיתי שקשור לפלט הרצוי מן הפקודה. סיבה נוספת היא שיצירת קיצור מקלדת לכל פקודה ולו החריגה ביותר תקשה עלינו ליצור קיצורי מקלדת לפקודות חשובות יותר.
לפיכך פקודות שימושיות מאוד שבוודאי ניצור להן קיצור מקלדת ונשתמש בו פעמים רבות אינן צריכות להיות קצרות. - כדי להקל על כתיבת פקודות שלא יצרתי להן קיצור מקלדת כתבתי קיצור מקלדת שיוצר את הקידומת של כל פקודות ה-macrosשלי ואז כל מה שנותר הוא להקיש שלוש-ארבע אותיות כדי לבחור את הפקודה הרצויה, קיצור המקלדת המדובר הוא "Ctrl+k".
- לכל גופן יש קידומת בת שתי אותיות.
\(\:\)קבוצות ופונקציות לפי קורסיםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\:\)המספרים המרוכבים ופונקציות מרוכבות\(\:\)
\(\newcommand{\MKcis}{\text{cis}}\)\(\cos+i\cdot\sin\). המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKre}{\text{Re}}\)החלק הממשי של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKim}{\text{Im}}\)החלק המדומה של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.מופיע גם כתמונה של פונקציה.
\(\newcommand{\MKind}{\text{Ind}}\)אינדקס ליפוף. מרוכבות.
\(\newcommand{\MKres}{\text{Res}}\)שארית (residue). מרוכבות.
\(\:\)אינפי', יריעות ופונקציונלית\(\:\)
\(\newcommand{\MKarsinh}{\text{arsinh}}\)סינוס היפרבולי הפוך, אינפי'.
\(\newcommand{\MKarcosh}{\text{arcosh}}\)קוסינוס היפרבולי הפוך, אינפי'.
\(\newcommand{\MKartanh}{\text{artanh}}\)טנגנס היפרבולי הפוך, אינפי'.
\(\newcommand{\MKar}{\text{ar}}\)יחס אורך-רוחב (aspect ratio). אינפי'.
\(\newcommand{\MKclos}{\text{Cl}}\)סגור (closure). אינפי'.
\(\newcommand{\MKdiam}{\text{diam}}\)קוטר (diameter). אינפי'.
\(\newcommand{\MKdiv}{\text{div}}\)דיברגנץ (divergence). יריעות.
\(\newcommand{\MKext}{\text{Ext}}\)חוץ (exterior). אינפי'.
\(\newcommand{\MKint}{\text{Int}}\)פנים (interior). אינפי'.
\(\newcommand{\MKop}{\text{op}}\)נורמה אופרטורית. אינפי'.
\(\newcommand{\MKvol}{\text{Vol}}\)נפח של קבוצה (volume). יריעות.
\(\newcommand{\MKsupp}{\text{Supp}}\)התומך של פונקציה (support). פונקציונלית.
\(\:\)אלגברה ליניארית ומבנים אלגבריים\(\:\)
\(\newcommand{\MKadj}{\text{adj}}\)המטריצה המצורפת (adjoint). ליניארית.
\(\newcommand{\MKaut}{\text{Aut}}\)חבורת האוטומורפיזמים. מבנים.
\(\newcommand{\MKchar}{\text{char}}\)המציין של שדה. מבנים.
\(\newcommand{\MKcor}{\text{Core}}\)הליבה של חבורה (core). מבנים.
\(\newcommand{\MKend}{\text{End}}\)קבוצת האנדומורפיזמים. ליניאריתומבנים.
\(\newcommand{\MKfix}{\text{Fix}}\)קבוצת נקודות השבת של פונקציה או איבר בחבורה. מבנים.
\(\newcommand{\MKgal}{\text{Gal}}\)חבורת גלואה של הרחבת שדות. מבנים.
\(\newcommand{\MKgl}{\text{GL}}\)חבורת המטריצות ההפיכות. מבנים.
\(\newcommand{\MKhom}{\text{Hom}}\)קבוצת ההומומורפיזמים. ליניאריתומבנים.
\(\newcommand{\MKinn}{\text{Inn}}\)חבורת האוטומורפיזמים הפנימיים (inner). מבנים.
\(\newcommand{\MKnull}{\text{null}}\)דרגת האפסיות של העתקה. ליניארית.
\(\newcommand{\MKorth}{\text{O}}\)חבורת המטריצות האורתוגונליות.
\(\newcommand{\MKout}{\text{Out}}\)חבורת האוטומורפיזמים החיצוניים (outer). מבנים.
\(\newcommand{\MKrank}{\text{rk}}\)דרגה של מטריצה/העתקה. ליניארית.
\(\newcommand{\MKsep}{\text{sep}}\)משמש לסימון הסגור הספרבילי של שדה. מבנים.
\(\newcommand{\MKsl}{\text{SL}}\)חבורת המטריצות בעלות דטרמיננטה\(1\). ליניארית ומבנים.
\(\newcommand{\MKso}{\text{SO}}\)חבורת המטריצות האורתוגונליות בעלות דטרמיננטה \(1\). ליניארית.
\(\newcommand{\MKsu}{\text{SU}}\)חבורת המטריצות האוניטריות בעלות דטרמיננטה \(1\). ליניארית.
\(\newcommand{\MKspan}{\text{span}}\)פרוש. ליניארית.
\(\newcommand{\MKtrace}{\text{tr}}\)עקבה (trace). ליניארית.
\(\:\)תורת הקבוצות\(\:\)
\(\newcommand{\MKcupdot}{\mathbin{\cupdot}}\)איחוד זרתודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKbigcupdot}{\mathbin{\bigcupdot}}\)איחוד זר גדולתודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdom}{\text{dom}}\)תחום ההגדרה של פונקציה (domain). קבוצות.
\(\newcommand{\MKrng}{\text{rng}}\)הטווח של פונקציה (range). קבוצות.
\(\renewcommand{\MKim}{\text{Im}}\)תמונה של פונקציה.מופיע גם כחלק מדומה של מספר מרוכב.
\(\newcommand{\MKsequ}{\text{Seq}}\)קבוצת הסדרות הסופיות של איברים מתוך קבוצה נתונה.
\(\:\)תורת ההסתברות\(\:\)
\(\newcommand{\MKalmsur}{\overset{\text{a.s.}}{=}}\)שוויון בין משתנים מקריים כמעט תמיד (almost surely).
\(\newcommand{\MKsmallalmsur}{\overset{\text{a.s.}}{\leq}}\)שוויון בין משתנים מקריים כמעט תמיד (almost surely).
\(\newcommand{\MKgreatalmsur}{\overset{\text{a.s.}}{\geq}}\)שוויון בין משתנים מקריים כמעט תמיד (almost surely).
\(\newcommand{\MKvar}{\text{Var}}\)שונות (variance).
\(\newcommand{\MKcovar}{\text{Cov}}\)שונות (co-variance).
\(\newcommand{\MKdist}{\overset{\text{d}}{=}}\)שוויון התפלגויות (distributions) בין משתנים מקריים.
\(\newcommand{\MKber}{\text{Ber}}\)התפלגות ברנולי.
\(\newcommand{\MKunif}{\text{Unif}}\)התפלגות אחידה.
\(\newcommand{\MKgeo}{\text{Geo}}\)התפלגות גאומטרית.
\(\newcommand{\MKbin}{\text{Bin}}\)התפלגות בינומית.
\(\newcommand{\MKpoi}{\text{Poi}}\)התפלגות פואסון.
\(\newcommand{\MKhypergeo}{\text{HG}}\)התפלגות היפר-גאומטרית.
\(\:\)שונותLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\newcommand{\MKnotequiv}{\not\equiv}\)
\(\newcommand{\MKtickmark}{\textcolor{green}{\checkmark}}\)
\(\newcommand{\MKxmark}{{\color{red}\boldsymbol{\times}}}\)
\(\:\)מדעי המחשב\(\:\)
\(\newcommand{\MKdin}{d_{\text{in}}}\)דרגת הכניסה של קודקוד. דיסקרטית ודאסט.
\(\newcommand{\MKdout}{d_{\text{out}}}\)דרגת היציאה של קודקוד. דיסקרטית ודאסט.
\(\newcommand{\MKfalse}{\text{False}}\)ערך שקר של פסוק. דיסקרטית ואינטרו.
\(\renewcommand{\MKnull}{\text{null}}\)ערךnull. דאסט.
\(\newcommand{\MKtrue}{\text{True}}\)ערך אמת של פסוק. דיסקרטית ואינטרו.
\(\:\)פיזיקה\(\:\)
\(\newcommand{\MKtot}{\text{tot}}\)קיצור שלtotal, מכניקה.
\(\renewcommand{\MKext}{\text{ext}}\)קיצור שלexternal, מכניקה.
\(\newcommand{\MKconst}{\text{Const}}\)קיצור שלconstant, מכניקה.
\(\newcommand{\MKeff}{\text{eff}}\)קיצור שלeffective, מכניקה.
\(\:\)מספרים שלמים\(\:\)
\(\newcommand{\MKeven}{\text{Even}}\)קבוצת הזוגיים
\(\newcommand{\MKodd}{\text{Odd}}\)קבוצת האי-זוגיים
\(\newcommand{\MKprime}{\text{Prime}}\)קבוצת הראשוניים. תורת המספרים.
\(\:\)פונקציות שונות\(\:\)
\(\newcommand{\MKid}{\text{Id}}\)פונקציית הזהות.
\(\newcommand{\MKlcm}{\text{lcm}}\)כפולה משותפת מינימלית
\(\newcommand{\MKord}{\text{Ord}}\)סדר (order). תורת המספרים.
\(\newcommand{\MKsign}{\text{sgn}}\)פונקציית הסימן
\(\:\)גופניםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\:\)גופןmathbb: הטבעיים, השלמים. הרציונליים. הממשיים. המרוכבים ועוד\(\:\)
\(\newcommand{\MKbba}{\mathbb{A}}\)
\(\newcommand{\MKbbb}{\mathbb{B}}\)
\(\newcommand{\MKcomplex}{\mathbb{C}}\)המספרים המרוכבים
\(\newcommand{\MKbbd}{\mathbb{D}}\)
\(\newcommand{\MKbbe}{\mathbb{E}}\)
\(\newcommand{\MKfield}{\mathbb{F}}\)שדה
\(\newcommand{\MKbbg}{\mathbb{G}}\)
\(\newcommand{\MKbbh}{\mathbb{H}}\)
\(\newcommand{\MKbbi}{\mathbb{I}}\)
\(\newcommand{\MKbbj}{\mathbb{J}}\)
\(\newcommand{\MKbbk}{\mathbb{K}}\)
\(\newcommand{\MKbbl}{\mathbb{L}}\)
\(\newcommand{\MKbbm}{\mathbb{M}}\)
\(\newcommand{\MKnatural}{\mathbb{N}}\)המספרים הטבעיים
\(\newcommand{\MKbbo}{\mathbb{O}}\)
\(\newcommand{\MKbbp}{\mathbb{P}}\)
\(\newcommand{\MKrational}{\mathbb{Q}}\)המספרים הרציונליים
\(\newcommand{\MKreal}{\mathbb{R}}\)המספרים הממשיים
\(\newcommand{\MKbbs}{\mathbb{S}}\)
\(\newcommand{\MKbbt}{\mathbb{T}}\)
\(\newcommand{\MKbbu}{\mathbb{U}}\)
\(\newcommand{\MKbbv}{\mathbb{V}}\)
\(\newcommand{\MKbbw}{\mathbb{W}}\)
\(\newcommand{\MKbbx}{\mathbb{X}}\)
\(\newcommand{\MKbby}{\mathbb{Y}}\)
\(\newcommand{\MKinteger}{\mathbb{Z}}\)המספרים השלמים
\(\newcommand{\MKindicator}{\mathds{1}}\)פונקציה מציינת - אינדיקטור
\(\:\)גופןmathcal: בסיסים, קבוצת חזקה, העתקות גלואה, המילטוניאן ועוד\(\:\)
\(\newcommand{\MKcla}{\mathcal{A}}\)
\(\newcommand{\MKclb}{\mathcal{B}}\)
\(\newcommand{\MKclc}{\mathcal{C}}\)
\(\newcommand{\MKcld}{\mathcal{D}}\)
\(\newcommand{\MKcle}{\mathcal{E}}\)
\(\newcommand{\MKclf}{\mathcal{F}}\)
\(\newcommand{\MKclg}{\mathcal{G}}\)
\(\newcommand{\MKclh}{\mathcal{H}}\)
\(\newcommand{\MKcli}{\mathcal{I}}\)
\(\newcommand{\MKclj}{J}\)
\(\newcommand{\MKclk}{\mathcal{K}}\)
\(\newcommand{\MKcll}{\mathcal{L}}\)
\(\newcommand{\MKclm}{\mathcal{M}}\)
\(\newcommand{\MKcln}{\mathcal{N}}\)
\(\newcommand{\MKclo}{\mathcal{O}}\)
\(\newcommand{\MKclp}{\mathcal{P}}\)
\(\newcommand{\MKclq}{\mathcal{Q}}\)
\(\newcommand{\MKclr}{\mathcal{R}}\)
\(\newcommand{\MKcls}{\mathcal{S}}\)
\(\newcommand{\MKclt}{\mathcal{T}}\)
\(\newcommand{\MKclu}{\mathcal{U}}\)
\(\newcommand{\MKclv}{\mathcal{V}}\)
\(\newcommand{\MKclw}{\mathcal{W}}\)
\(\newcommand{\MKclx}{\mathcal{X}}\)
\(\newcommand{\MKcly}{\mathcal{Y}}\)
\(\newcommand{\MKclz}{\mathcal{Z}}\)
\(\:\)גופןmathscr: ?\(\:\)
\(\newcommand{\MKsrb}{\mathscr{B}}\)
\(\newcommand{\MKsrf}{\mathscr{F}}\)
\(\:\)גופןmathfrak: אותיות גותיות לעוצמות\(\:\)
\(\newcommand{\MKfka}{\mathfrak{a}}\)
\(\newcommand{\MKfkb}{\mathfrak{b}}\)
\(\newcommand{\MKfkc}{\mathfrak{c}}\)
\(\:\)כתיבת סדרות במהירותLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\newcommand{\MKseq}[3]{#1_{1}#2#1_{2}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKseqz}[3]{#1_{0}#2#1_{1}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseq}[5]{#1_{1}#2#3_{1}#4#1_{2}#2#3_{2}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseqz}[5]{#1_{0}#2#3_{0}#4#1_{1}#2#3_{1}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
1 התחלה
1.1 הגדרות
- \(\clubsuit\)
- בנושא השני בקורס זה - "מטריצות ומרחבי קואורדינטות" - ראינו את הקשר בין מטריצות מעל שדה למרחב הקואורדינטות שלו, בנושא זה נראה הכללה של נקודה זו למרחבים וקטוריים כלליים ונראה גם עד כמה מרחב הקואורדינטות עוזר לנו להבין אותם.
- \(\clubsuit\)
- כלומר העתקה ליניארית היא פונקציה השומרת על המבנה של המרחב הווקטורי (בקובץ הטענות נראה שבהכרח מתקיים \(T\left(0_{V}\right)=0_{W}\)).
מבחינה גאומטרית זה אומר שבניגוד לכל פונקציה \(f:\MKreal^{n}\rightarrow\MKreal^{n}\) שיכולה לעוות את המרחב בכל דרך שנעלה על הדעת, העתקות ליניאריות מוגבלות ביכולת העיוות שלהן - הגבלה זו מתבטאת בכך שראשית הצירים מועתקת בהכרח אל עצמה ושקווים ישרים אינם מתעקמים; הנה סרטון של3blue1brownשמסביר את הנקודה הזו בצורה נהדרת (כמו תמיד). - \(\clubsuit\)
- שימו לב: החיבור הווקטורי והכפל בסקלר שבאגף שמאל הם אלו של \(V\) ואילו החיבור הווקטורי והכפל בסקלר שבאגף ימין הם אלו של \(W\), זו הסיבה שהעתקה ליניארית יכולה להיות רק בין שני מרחבים וקטוריים מעל לאותו שדה.
- \(\clubsuit\)
- אנחנו ניתקל בעקבה של מטריצה פעם נוספת באחת הדוגמאות למכפלה פנימית (ליניארית2).
- \(\clubsuit\)
- כלומר ניתן להגדיר העתקה ליניארית ע"י הגדרת פעולתה על איברי בסיס בלבד.
- \(\clubsuit\)
- כבר ראינו שהעמודה ה-\(j\) של מטריצה \(A\in M_{m\times n}\left(\MKfield\right)\) היא \(T_{A}\left(e_{j}\right)=A\cdot e_{j}\) ולכן ניתן למצוא את המטריצה המתאימה ע"י הפעלת \(T\) על איברי הבסיס הסטנדרטי.
יהיו \(V\) ו-\(W\) מרחבים וקטוריים מעל לשדה \(\MKfield\).
הגדרה 1.1. פונקציה \(T:V\rightarrow W\) תיקרא העתקה ליניארית (להלן גם: ה"ל) אם היא מקיימת את שתי התכונות הבאות:
- חיבוריות (אדיטיביות) - לכל \(v_{1},v_{2}\in V\) מתקיים \(T\left(v_{1}+v_{2}\right)=T\left(v_{1}\right)+T\left(v_{2}\right)\).
- כפליות (הומוגניות) - לכל \(v\in V\) ולכל \(c\in\MKfield\) מתקיים \(T\left(c\cdot v\right)=c\cdot T\left(v\right)\).
דוגמה 1.2. פונקציית האפס (\(f\left(v\right):=0_{W}\) לכל \(v\in V\)) ופונקציית הזהות (\(\MKid_{V}\)) הן העתקות ליניאריות.
דוגמה 1.3. בדוגמה הזו נתקלנו כבר בנושא הקודם - כל מטריצה \(A\in M_{m\times n}\left(\MKfield\right)\) מגדירה העתקה ליניארית \(T_{A}:\MKfield^{n}\rightarrow\MKfield^{m}\) ע"י \(T_{A}\left(v\right):=A\cdot v\) (לכל \(v\in\MKfield^{n}\)).
דוגמה 1.4. תהא \(A\) קבוצה, ראינו שקבוצת הפונקציות מ-\(A\) ל-\(\MKfield\) היא מרחב וקטורי, כל איבר \(a\in A\) מגדיר העתקה ליניארית \(T_{a}:\MKfield^{A}\rightarrow\MKfield\) ע"י הצבה - \(T_{a}\left(f\right):=f\left(a\right)\) (לכל \(f\in\MKfield^{A}\)).
דוגמה 1.5. כל איבר \(r\in\MKfield\) מגדיר העתקה ליניארית \(T_{r}:\MKfield^{\MKfield}\rightarrow\MKfield^{\MKfield}\) ע"י \(T_{r}\left(f\right)x:=f\left(x-r\right)\) (לכל \(f\in\MKfield^{\MKfield}\))1כלומר \(T_{r}\) מעתיקה את \(f\) לפונקציה \(g:\MKfield\rightarrow\MKfield\) המוגדרת ע"י \(g\left(x\right):=f\left(x-r\right)\) (לכל \(x\in\MKfield\))..
הגדרה 1.6. תהא \(A\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) מטריצה ריבועית, העקבה (באנגליתTrace) של \(A\) היא סכום האיברים שעל האלכסון הראשי, כלומר:\[
\MKtrace A:=\sum_{i=1}^{n}\left[A\right]_{ii}
\]
מה המשמעות הגאומטרית של עקבה???
מסקנה 1.7. פונקציית העקבה (\(\MKtrace:M_{n}\left(\MKfield\right)\rightarrow\MKfield\)) היא העתקה ליניארית.
מסקנה 1.8.
יהיו \(V\) ו-\(W\) מרחבים וקטוריים מעל לשדה \(\MKfield\).
משפט 1.9. תכונות של העתקות ליניאריות
תהא \(T:V\rightarrow W\) העתקה ליניארית, מתקיימים שלושת הפסוקים הבאים:
תהא \(T:V\rightarrow W\) העתקה ליניארית, מתקיימים שלושת הפסוקים הבאים:
- \(T\left(0_{V}\right)=0_{W}\).
- לכל \(v\in V\) מתקיים \(T\left(-v\right)=-T\left(v\right)\).
- \(T\) מכבדת צירופים ליניאריים - לכל \(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\in V\) ולכל \(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\in\MKfield\) מתקיים \(T\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot v_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot T\left(v_{i}\right)\).
הוכחה. מהיות \(T\) העתקה ליניארית נובע כי:
- \(T\left(0_{V}\right)=T\left(0\cdot0_{V}\right)=0\cdot T\left(0_{V}\right)=0_{W}\).
- לכל \(v\in V\) מתקיים \(T\left(-v\right)=T\left(-1\cdot v\right)=-1\cdot T\left(v\right)=-T\left(v\right)\).
הוכחה. כדי להוכיח את סעיף3יש להשתמש באינדוקציה על הגדרת העתקה ליניארית.
משפט 1.10. נניח ש-\(V\) נ"ס ויהי \(\MKclb:=\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)\) בסיס של \(V\), לכל \(w_{1},w_{2},\ldots,w_{n}\in W\) קיימת העתקה ליניארית \(T:V\rightarrow W\) יחידה כך ש-\(T\left(v_{i}\right)=w_{i}\) לכל \(n\geq i\in\MKnatural\).
הוכחה. יהיו \(w_{1},w_{2},\ldots,w_{n}\in W\) ונגדיר העתקה ליניארית \(T:V\rightarrow W\) ע"י (לכל \(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\in\MKfield\)):\[
T\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot v_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot w_{i}
\]ראינו שכל וקטור \(v\in V\) ניתן להצגה באופן יחיד כצר"ל של \(\MKclb\) ולכן \(T\) מוגדרת היטב.
\(T\) היא העתקה ליניארית שכן לכל \(u,u'\in V\) ולכל \(c\in\MKfield\) מתקיים:\[\begin{align*} T\left(u+u'\right) & =T\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot v_{i}+\sum_{i=1}^{n}b_{i}\cdot v_{i}\right)=T\left(\sum_{i=1}^{n}\left(a_{i}+b_{i}\right)\cdot v_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n}\left(a_{i}+b_{i}\right)\cdot w_{i}\\ & =\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot w_{i}+\sum_{i=1}^{n}b_{i}\cdot w_{i}=T\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot v_{i}\right)+T\left(\sum_{i=1}^{n}b_{i}\cdot v_{i}\right)=T\left(u\right)+T\left(u'\right)\\ T\left(c\cdot u\right) & =T\left(c\cdot\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot v_{i}\right)=T\left(\sum_{i=1}^{n}c\cdot a_{i}\cdot v_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n}c\cdot a_{i}\cdot w_{i}=c\cdot\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot w_{i}=c\cdot T\left(u\right) \end{align*}\]כאשר \(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n},b_{1},b_{2},\ldots,b_{n}\) הם הסקלרים היחידים ב-\(\MKfield\) המקיימים \(u=\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot v_{i}\) ו-\(u'=\sum_{i=1}^{n}b_{i}\cdot v_{i}\).
היחידות של \(T\) נובעת מהעובדה ש-\(T\) מכבדת צירופים ליניאריים (משפט 1.1) ושכל וקטור \(v\in V\) ניתן להצגה באופן יחיד כצר"ל של \(\MKclb\).
\(T\) היא העתקה ליניארית שכן לכל \(u,u'\in V\) ולכל \(c\in\MKfield\) מתקיים:\[\begin{align*} T\left(u+u'\right) & =T\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot v_{i}+\sum_{i=1}^{n}b_{i}\cdot v_{i}\right)=T\left(\sum_{i=1}^{n}\left(a_{i}+b_{i}\right)\cdot v_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n}\left(a_{i}+b_{i}\right)\cdot w_{i}\\ & =\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot w_{i}+\sum_{i=1}^{n}b_{i}\cdot w_{i}=T\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot v_{i}\right)+T\left(\sum_{i=1}^{n}b_{i}\cdot v_{i}\right)=T\left(u\right)+T\left(u'\right)\\ T\left(c\cdot u\right) & =T\left(c\cdot\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot v_{i}\right)=T\left(\sum_{i=1}^{n}c\cdot a_{i}\cdot v_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n}c\cdot a_{i}\cdot w_{i}=c\cdot\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot w_{i}=c\cdot T\left(u\right) \end{align*}\]כאשר \(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n},b_{1},b_{2},\ldots,b_{n}\) הם הסקלרים היחידים ב-\(\MKfield\) המקיימים \(u=\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot v_{i}\) ו-\(u'=\sum_{i=1}^{n}b_{i}\cdot v_{i}\).
היחידות של \(T\) נובעת מהעובדה ש-\(T\) מכבדת צירופים ליניאריים (משפט 1.1) ושכל וקטור \(v\in V\) ניתן להצגה באופן יחיד כצר"ל של \(\MKclb\).
מסקנה 1.11. תהא \(T:\MKfield^{n}\rightarrow\MKfield^{m}\) העתקה ליניארית, קיימת \(A\in M_{m\times n}\left(\MKfield\right)\) יחידה כך ש-\(T=T_{A}\).
טענה 1.12. לכל \(A,B\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) מתקיים \(\MKtrace\left(AB\right)=\MKtrace\left(BA\right)\).
הוכחה. מהגדרה מתקיים:\[\begin{align*}
\MKtrace\left(AB\right) & =\sum_{\boldsymbol{{\color{blue}i}}=1}^{n}\left[AB\right]_{\boldsymbol{{\color{blue}ii}}}=\sum_{\boldsymbol{{\color{blue}i}}=1}^{n}\left(\sum_{\boldsymbol{{\color{red}k}}=1}^{n}\left[A\right]_{\boldsymbol{{\color{blue}i}{\color{red}k}}}\cdot\left[B\right]_{\boldsymbol{{\color{red}k}{\color{blue}i}}}\right)=\sum_{\boldsymbol{{\color{red}k}}=1}^{n}\left(\sum_{\boldsymbol{{\color{blue}i}}=1}^{n}\left[A\right]_{\boldsymbol{{\color{blue}i}{\color{red}k}}}\cdot\left[B\right]_{\boldsymbol{{\color{red}k}{\color{blue}i}}}\right)\\
& =\sum_{\boldsymbol{{\color{red}k}}=1}^{n}\left(\sum_{\boldsymbol{{\color{blue}i}}=1}^{n}\left[B\right]_{\boldsymbol{{\color{red}k}{\color{blue}i}}}\cdot\left[A\right]_{\boldsymbol{{\color{blue}i}{\color{red}k}}}\right)=\sum_{\boldsymbol{{\color{red}k}}=1}^{n}\left[BA\right]_{\boldsymbol{{\color{red}kk}}}=\MKtrace\left(BA\right)
\end{align*}\]
\(\:\)
2 גרעין ותמונה, הרכבה והפיכות
2.1 הגדרות
יהיו \(V\) ו-\(W\) מרחבים וקטוריים מעל לשדה \(\MKfield\), ותהא \(T:V\rightarrow W\) העתקה ליניארית.
הגדרה 2.1. הגרעין של \(T\) הוא קבוצת כל הווקטורים ב-\(V\) ש-\(T\) מעתיקה אל \(0_{W}\), כלומר:\[
\ker T:=\left\{ v\in V\mid T\left(v\right)=0_{W}\right\}
\]
- \(\clubsuit\)
- בפרט, הגרעין של העתקה \(T_{A}:\MKfield^{n}\rightarrow\MKfield^{m}\) המוגדרת ע"י מטריצה \(A\in M_{m\times n}\left(\MKfield\right)\) הוא בדיוק מרחב הפתרונות של הממ"ל ההומוגנית \(A\cdot x=\vec{0}\).
כמו כן התמונה של \(T_{A}\) היא בדיוק \(\left\{ b\in\MKfield^{m}\mid\exists x\in\MKfield^{n}:A\cdot x=b\right\} \), כלומר קבוצת כל הווקטורים ב-\(\MKfield^{m}\) שעבורם יש לממ"ל \(A\cdot x=b\) פתרון (\(b\in\MKfield^{m}\)). - \(\clubsuit\)
- רעיון האיזומורפיזם אינו מיוחד לאלגברה ליניארית, הוא משותף לכל תחומי המתמטיקה ומשמעותו היא ששני אובייקטים מתמטיים זהים מכל בחינה שמעניינת אותנו בהקשר מסוים. לתפיסתי האיזומורפיזם הוא נשמת אפה של המתמטיקה וכבר כתבתי על כך בקובץ "אוניברסיטאית למתמטיקה הקדמה", מי שרוצה לקרוא עוד בנושא ולראות הגדרה פורמלית יכול לקרוא את הערך איזומורפיזם בוויקיפדיה.
- \(\clubsuit\)
- אם שני מרחבים וקטוריים נוצרים סופית איזומורפיים זה לזה אז הם בפרט שווי ממד.
- \(\clubsuit\)
- שימו לב ש-\(V\) יכול להיות בעצמו \(\MKfield^{n}\) ואז המסקנה אומרת בעצם שאין שום הבדל בין בסיס \(\MKclb\) של \(\MKfield^{n}\) (כל בסיס!) לבין הבסיס הסטנדרטי, שניהם מתנהגים באותה צורה בדיוק ורק הנוחות שלנו כבני אדם גורמת לנו להעדיף את הבסיס הסטנדרטי על פני הבסיסים האחרים.
- תזכורת:
- עבור פונקציה \(f:A\rightarrow B\) ותת-קבוצה \(S\subseteq B\) אנו מגדירים \(f^{-1}\left(S\right):=\left\{ a\in A\mid f\left(a\right)\in S\right\} \), גם אם \(f\) אינה הפיכה.
טענה. הגרעין והתמונה של \(T\) הם תתי-מרחבים של \(V\) ו-\(W\) בהתאמה.
הגדרה 2.2. נניח ש-\(\ker T\) נ"ס, האפסיות של \(T\) מוגדרת ע"י \(\MKnull T:=\dim\left(\ker T\right)\).
הגדרה 2.3. נניח ש-\(\MKim T\) נ"ס, הדרגה של \(T\) מוגדרת ע"י \(\MKrank T:=\dim\left(\MKim T\right)\).
אולי כדאי לתלות את ההגדרה של האפסיות והדרגה בכך ש-\(V\) נ"ס???
טענה. נניח שקיימת העתקה ליניארית הפיכה \(S:V\rightarrow W\), גם ההופכית שלה \(S^{-1}:W\rightarrow V\) היא העתקה ליניארית.
הגדרה 2.4. נאמר ש-\(V\) ו-\(W\) איזומורפיים זה לזה אם קיימת העתקה ליניארית \(S:V\rightarrow W\) חח"ע ועל, \(S\) כזו תיקרא איזומורפיזם בין \(V\) ל-\(W\).
נניח ש-\(V\) נ"ס.
הגדרה 2.5. נסמן \(n:=\dim V\) ויהי \(\MKclb:=\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)\) בסיס של \(V\).
- תהא \(\omega_{\MKclb}:V\rightarrow\MKfield^{n}\) פונקציה המוגדרת ע"י \(\omega_{\MKclb}\left(v\right):=\left[v\right]_{\MKclb}\) (לכל \(v\in V\)), כלומר אם \(v=\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot v_{i}\) אז:\[ \omega_{\MKclb}\left(v\right):=\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots\\ a_{n} \end{bmatrix} \]
- מהגדרה \(\omega_{\MKclb}\) היא פונקציה הפיכה, א"כ תהא \(\tau_{\MKclb}:\MKfield^{n}\rightarrow V\) הפונקציה ההופכית שלה, כלומר:\[ \tau_{\MKclb}\begin{pmatrix}a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots\\ a_{n} \end{pmatrix}:=\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot v_{i} \]
מסקנה 2.6. \(\omega_{\MKclb}\) ו-\(\tau_{\MKclb}\) הן העתקות ליניאריות.
מסקנה 2.7. \(V\) איזומורפי ל- \(\MKfield^{n}\) והפונקציה \(\omega_{\MKclb}\) היא איזומורפיזם בין \(V\) ל-\(\MKfield^{n}\).
מסקנה 2.8. אם \(V\) ו-\(W\) מאותו ממד (בפרט גם \(W\) נ"ס) אז הם איזומורפיים.
\(\:\)
יהיו \(V\) ו-\(W\) מרחבים וקטוריים מעל לשדה \(\MKfield\), ותהא \(T:V\rightarrow W\) העתקה ליניארית.
טענה 2.9. הגרעין והתמונה של \(T\) הם תתי-מרחבים של \(V\) ו-\(W\) בהתאמה.
טענה 2.10. לכל תמ"ו \(U\subseteq W\) גם \(T^{-1}\left(U\right)\) הוא תמ"ו (של \(V\)), כמו כן לכל ישריה \(S\subseteq W\) הקבוצה \(T^{-1}\left(S\right)\) היא ישריה או הקבוצה הריקה.
הוכחה. \(\:\)
- יהי \(U\subseteq W\) תמ"ו.
- ממשפט 1.1 ומהיות \(U\) תמ"ו נובע ש-\(T\left(0_{V}\right)=0_{W}\in U\) ולכן \(0_{V}\in T^{-1}\left(U\right)\).}
- יהיו \(v_{1},v_{2}\in T^{-1}\left(U\right)\), מכאן ש-\(T\left(v_{1}\right),T\left(v_{2}\right)\in U\) ולכן מהיות \(U\) תמ"ו נובע ש-\(T\left(v_{1}+v_{2}\right)=T\left(v_{1}\right)+T\left(v_{2}\right)\in U\) וממילא \(v_{1}+v_{2}\in T^{-1}\left(U\right)\).
- יהיו \(v\in T^{-1}\left(U\right)\) ו-\(c\in\MKfield\), מכאן ש-\(T\left(v\right)\in U\) ולכן מהיות \(U\) תמ"ו נובע ש-\(T\left(c\cdot v\right)=c\cdot T\left(v\right)\in U\) וממילא \(c\cdot v\in T^{-1}\left(U\right)\).
- תהא \(S\subseteq W\) ישריה, יהי \(U\subseteq W\) מרחב הכיוונים שלה ונניח ש-\(T^{-1}\left(S\right)\neq\emptyset\).
יהי \(v_{0}\in T^{-1}\left(S\right)\), א"כ \(T\left(v_{0}\right)\in S\) ומכאן ש-\(S=\left\{ T\left(v_{0}\right)\right\} +U\).
ראינו ש-\(T^{-1}\left(U\right)\) הוא תמ"ו ולכן אם נוכיח ש-\(T^{-1}\left(S\right)=\left\{ v_{0}\right\} +T^{-1}\left(U\right)\) נקבל את המבוקש.
יהי \(v_{1}\in T^{-1}\left(S\right)\), א"כ \(T\left(v_{1}\right)\in S\) ולכן \(T\left(v_{1}-v_{0}\right)=T\left(v_{1}\right)-T\left(v_{0}\right)\in U\) וממילא \(v_{1}-v_{0}\in T^{-1}\left(U\right)\) ו-\(v_{1}\in\left\{ v_{0}\right\} +T^{-1}\left(U\right)\).\[ \Rightarrow T^{-1}\left(S\right)\subseteq\left\{ v_{0}\right\} +T^{-1}\left(U\right) \]יהי \(v_{2}\in\left\{ v_{0}\right\} +T^{-1}\left(U\right)\), א"כ \(v_{2}-v_{0}\in T^{-1}\left(U\right)\) ולכן \(T\left(v_{2}\right)-T\left(v_{0}\right)=T\left(v_{2}-v_{0}\right)\in U\) וממילא \(T\left(v_{2}\right)\in S\) ו-\(v_{2}\in T^{-1}\left(S\right)\).\[\begin{align*} & \Rightarrow T^{-1}\left(S\right)\supseteq\left\{ v_{0}\right\} +T^{-1}\left(U\right)\\ & \Rightarrow T^{-1}\left(S\right)=\left\{ v_{0}\right\} +T^{-1}\left(U\right) \end{align*}\]
טענה 2.11. \(T\) חח"ע אם"ם \(\ker T=\left\{ 0_{V}\right\} \).
הוכחה. \(\:\)
- \(\Leftarrow\)
נניח ש-\(\ker T\neq\left\{ 0_{V}\right\} \), ממשפט 1.1 נובע ש-\(\ker T\supseteq\left\{ 0_{V}\right\} \) ולכן ע"פ ההנחה קיים \(0_{V}\neq v\in V\) כך ש-\(T\left(v\right)=0_{W}\) ומכיוון ש-\(T\left(0_{V}\right)=0_{W}\) (משפט 1.1) נובע מזה ש-\(T\) אינה חח"ע.
מכאן שאם \(T\) חח"ע אז \(\ker T=\left\{ 0_{V}\right\} \). - \(\Rightarrow\)
נניח ש-\(\ker T=\left\{ 0_{V}\right\} \) ויהיו \(v_{1},v_{2}\in V\) כך ש-\(T\left(v_{1}\right)=T\left(v_{2}\right)\), מכאן ש-\(T\left(v_{1}-v_{2}\right)=T\left(v_{1}\right)-T\left(v_{2}\right)=0_{W}\) וע"פ ההנחה \(v_{1}-v_{2}=0_{V}\), כלומר \(v_{1}=v_{2}\).
\(v_{1}\) ו-\(v_{2}\) הנ"ל היו שרירותיים ומכאן שלכל \(v_{1},v_{2}\in V\) כך ש-\(T\left(v_{1}\right)=T\left(v_{2}\right)\) מתקיים \(v_{1}=v_{2}\) - כלומר \(T\) חח"ע.
מסקנה 2.12. \(T\) חח"ע אם"ם לכל תת-קבוצה \(S\subseteq V\) בת"ל גם \(T\left(S\right)\) בת"ל.
הוכחה. \(\:\)
- \(\Leftarrow\)
נניח ש-\(T\) חח"ע ותהא \(S\subseteq V\) תת-קבוצה בת"ל.
יהיו \(w_{1},w_{2},\ldots,w_{n}\in T\left(S\right)\) ו-\(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\in\MKfield\) כך ש-\(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot w_{i}=0_{W}\), ויהיו \(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\in S\) כך ש-\(T\left(v_{i}\right)=w_{i}\) לכל \(n\geq i\in\MKnatural\).\[ \Rightarrow T\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot v_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot T\left(v_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot w_{i}=0_{W} \]מההנחה ומהטענה האחרונה (2.3) נובע ש-\(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot v_{i}=0_{V}\) ומכיוון ש-\(S\) בת"ל \(a_{i}=0\) לכל \(n\geq i\in\MKnatural\); א"כ הצר"ל המתאפס היחיד של \(T\left(S\right)\) הוא הטריוויאלי ולכן היא בת"ל. - \(\Rightarrow\)
נניח ש-\(T\) אינה חח"ע, מטענה 2.3 נובע שקיים \(0_{V}\neq v\in V\) כך ש-\(T\left(v\right)=0_{W}\), יהי \(v\) כנ"ל.
הקבוצה \(\left\{ v\right\} \) היא קבוצה בת"ל אך הקבוצה \(T\left(\left\{ v\right\} \right)=\left\{ T\left(v\right)\right\} =\left\{ 0_{W}\right\} \) תלויה ליניארית,
מכאן שאם לכל תת-קבוצה \(S\subseteq V\) בת"ל גם \(T\left(S\right)\) בת"ל אז \(T\) חח"ע.
טענה 2.13. תהא \(S\subseteq V\) תת-קבוצה, אם \(T\left(S\right)\) בת"ל אז גם \(S\) בת"ל.
הוכחה. נניח ש-\(T\left(S\right)\) בת"ל, יהיו \(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\in S\) ויהיו \(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\in\MKfield\) כך ש-\(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot v_{i}=0_{V}\).\[
\Rightarrow0_{W}=T\left(0_{V}\right)=T\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot v_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot T\left(v_{i}\right)
\]מהיות \(T\left(S\right)\) בת"ל נובע ש-\(a_{i}=0\) לכל \(n\geq i\in\MKnatural\) ומכאן שגם \(S\) בת"ל.
טענה 2.14. תהא \(S\subseteq V\) תת-קבוצה פורשת (\(\MKspan S=V\)), הקבוצה \(T\left(S\right)\) פורשת את \(\MKim T\) (\(\MKspan T\left(S\right)=\MKim T\)).
מסקנה 2.15. אם \(V\) נ"ס אז גם \(\MKim T\) נ"ס.
מסקנה 2.16. נניח ש-\(V\) ו-\(W\) נ"ס, \(T\) חח"ע ועל אם"ם לכל בסיס \(\MKclb\subseteq V\) (של \(V\)) גם \(T\left(\MKclb\right)\) בסיס (של \(W\)).
טענה 2.17. לכל מטריצה \(A\in M_{m\times n}\left(\MKfield\right)\) מתקיים \(\MKrank T_{A}=\MKrank A\).
הוכחה. תהא \(A\in M_{m\times n}\left(\MKfield\right)\) מטריצה, אנחנו יודעים שעמודות המטריצה הן התמונות של איברי הבסיס הסטנדרטי ולכן הן פורשות את \(\MKim T_{A}\), א"כ \(\MKim T_{A}\) הוא פרוש העמודות של \(A\) ולכן \(\MKrank A=\dim\left(\MKim T_{A}\right)\) ומכיוון שע"פ ההגדרה גם \(\MKrank T_{A}=\dim\left(\MKim T_{A}\right)\) הרי ש-\(\MKrank T_{A}=\MKrank A\).
משפט 2.18. משפט הדרגה (משפט הממדים השני)
מתקיים:\[ \dim V=\dim\left(\ker T\right)+\dim\left(\MKim T\right)=\MKnull T+\MKrank T \]
מתקיים:\[ \dim V=\dim\left(\ker T\right)+\dim\left(\MKim T\right)=\MKnull T+\MKrank T \]
הוכחה. יהיו \(v_{1},v_{2},\ldots,v_{k}\in V\) כך ש-\(\MKclb_{0}:=\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{k}\right)\) הוא בסיס סדור של \(\ker T\), ויהיו \(v_{k+1},v_{k+2},\ldots,v_{n}\in V\) כך ש-\(\MKclb:=\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{k},v_{k+1},v_{k+2},\ldots,v_{n}\right)\) הוא בסיס של \(V\).
מטענה 2.6 נובע שהסדרה \(\left(T\left(v_{1}\right),T\left(v_{2}\right),\ldots,T\left(v_{k}\right),T\left(v_{k+1}\right),T\left(v_{k+2}\right),\ldots,T\left(v_{n}\right)\right)\) פורשת את \(\MKim T\), ומהגדרת \(\MKclb_{0}\) נובע שהסדרה \(\MKclc:=\left(T\left(v_{k+1}\right),T\left(v_{k+2}\right),\ldots,T\left(v_{n}\right)\right)\) פורשת את \(\MKim T\).
יהיו \(a_{k+1},a_{k+2},\ldots,a_{n}\in\MKfield\) כך ש-\(\sum_{i=k+1}^{n}a_{i}\cdot T\left(v_{i}\right)=0_{W}\) וממילא \(T\left(\sum_{i=k+1}^{n}a_{i}\cdot v_{i}\right)=0_{W}\), א"כ \(\sum_{i=k+1}^{n}a_{i}\cdot v_{i}\in\ker T\) ולכן מהגדרת \(\MKclb\) נובע ש-\(a_{i}=0\) לכל \(i\in\MKnatural\) כך ש-\(k+1\leq i\leq n\).
כלומר הצר"ל המתאפס היחיד של \(\MKclc\) הוא הטריוויאלי ולכן \(\MKclc\) בת"ל וממילא גם בסיס של \(\MKim T\).\[\begin{align*} & \Rightarrow\dim\left(\MKim T\right)=n-k=\dim V-\dim\left(\ker T\right)\\ & \Rightarrow\dim V=\dim\left(\ker T\right)+\dim\left(\MKim T\right) \end{align*}\]
מטענה 2.6 נובע שהסדרה \(\left(T\left(v_{1}\right),T\left(v_{2}\right),\ldots,T\left(v_{k}\right),T\left(v_{k+1}\right),T\left(v_{k+2}\right),\ldots,T\left(v_{n}\right)\right)\) פורשת את \(\MKim T\), ומהגדרת \(\MKclb_{0}\) נובע שהסדרה \(\MKclc:=\left(T\left(v_{k+1}\right),T\left(v_{k+2}\right),\ldots,T\left(v_{n}\right)\right)\) פורשת את \(\MKim T\).
יהיו \(a_{k+1},a_{k+2},\ldots,a_{n}\in\MKfield\) כך ש-\(\sum_{i=k+1}^{n}a_{i}\cdot T\left(v_{i}\right)=0_{W}\) וממילא \(T\left(\sum_{i=k+1}^{n}a_{i}\cdot v_{i}\right)=0_{W}\), א"כ \(\sum_{i=k+1}^{n}a_{i}\cdot v_{i}\in\ker T\) ולכן מהגדרת \(\MKclb\) נובע ש-\(a_{i}=0\) לכל \(i\in\MKnatural\) כך ש-\(k+1\leq i\leq n\).
כלומר הצר"ל המתאפס היחיד של \(\MKclc\) הוא הטריוויאלי ולכן \(\MKclc\) בת"ל וממילא גם בסיס של \(\MKim T\).\[\begin{align*} & \Rightarrow\dim\left(\MKim T\right)=n-k=\dim V-\dim\left(\ker T\right)\\ & \Rightarrow\dim V=\dim\left(\ker T\right)+\dim\left(\MKim T\right) \end{align*}\]
מסקנה 2.19. אם \(V\) נ"ס ו-\(T\) חח"ע ועל אז \(W\) נ"ס ומתקיים \(\dim V=\dim W\).
מסקנה 2.20. נניח ש-\(V\) נ"ס, מתקיימים ארבעת הפסוקים הבאים:
- \(\dim V\geq\dim\left(\MKim T\right)\).
- אם \(T\) על אז \(\dim V\geq\dim W\).
- אם \(T\) חח"ע אז \(\dim V=\dim\left(\MKim T\right)\) ומכאן שאם \(W\) נ"ס אז \(\dim V\leq\dim W\).
- נניח ש-\(W\) נ"ס וש-\(\dim V=\dim W\), \(T\) על אם"ם היא חח"ע.
טענה 2.21. נניח שקיימת העתקה ליניארית הפיכה \(S:V\rightarrow W\), גם ההופכית שלה \(S^{-1}:W\rightarrow V\) היא העתקה ליניארית.
הוכחה. יהיו \(w,w'\in W\) ו-\(c\in\MKfield\), ויהיו \(v,v'\in V\) אותם וקטורים יחידים כך ש-\(S\left(v\right)=w\) ו-\(S\left(v'\right)=w'\).\[\begin{align*}
\Rightarrow S^{-1}\left(w+w'\right) & =S^{-1}\left(S\left(v\right)+\left(v'\right)\right)=S^{-1}\left(S\left(v+v'\right)\right)=v+v'=S^{-1}\left(w\right)+S^{-1}\left(w'\right)\\
\Rightarrow S^{-1}\left(c\cdot w\right) & =S^{-1}\left(c\cdot S\left(v\right)\right)=S^{-1}\left(S\left(c\cdot v\right)\right)=c\cdot v=c\cdot S^{-1}\left(w\right)
\end{align*}\]מהיות \(w\), \(w'\) ו-\(c\) שרירותיים נובע ש-\(S^{-1}\) היא העתקה ליניארית.
טענה 2.22. יהי \(U\) מרחב וקטורי מעל \(\MKfield\) ותהא \(S:W\rightarrow U\) העתקה ליניארית, גם \(S\circ T\) היא העתקה ליניארית.
הוכחה. יהיו \(v,v'\in V\) ו-\(c\in\MKfield\).\[\begin{align*}
\Rightarrow\left(S\circ T\right)\left(v+v'\right) & =S\left(T\left(v+v'\right)\right)=S\left(T\left(v\right)+T\left(v'\right)\right)=S\left(T\left(v\right)\right)+S\left(T\left(v'\right)\right)=\left(S\circ T\right)\left(v\right)+\left(S\circ T\right)\left(v'\right)\\
\Rightarrow\left(S\circ T\right)\left(c\cdot v\right) & =S\left(T\left(c\cdot v\right)\right)=S\left(T\left(v\right)\right)=c\cdot S\left(T\left(v\right)\right)=c\cdot\left(S\circ T\right)\left(v\right)
\end{align*}\]
טענה 2.23. יהי \(U\) מרחב וקטורי מעל \(\MKfield\) ותהא \(S:W\rightarrow U\) העתקות ליניאריות, מתקיים:
- אם \(T\) על אז \(\MKrank\left(S\circ T\right)=\MKrank S\).
- אם \(S\) חח"ע אז \(\MKrank\left(S\circ T\right)=\MKrank T\).
הוכחה. \(\:\)
- אם \(T\) על אז \(\MKim\left(S\circ T\right)=\MKim S\) ולכן \(\MKrank\left(S\circ T\right)=\MKrank S\).
- אם \(S\) חח"ע אז ממשפט הדרגה נובע ש-\(\dim\left(\MKim\left(S\mid_{\MKim T}\right)\right)=\dim\left(\MKim T\right)=\MKrank T\), ומכיוון ש-\(\MKim\left(S\mid_{\MKim T}\right)=\MKim\left(S\circ T\right)\) נדע שמתקיים:\[ \MKrank\left(S\circ T\right)=\dim\left(\MKim\left(S\circ T\right)\right)=\dim\left(\MKim\left(S\mid_{\MKim T}\right)\right)=\MKrank T \]
3 המטריצה המייצגת
3.1 הגדרות
יהיו \(V\) ו-\(W\) מרחבים וקטוריים נוצרים סופית מעל לשדה \(\MKfield\), ויהיו \(\MKclb:=\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)\) ו-\(\MKclc:=\left(w_{1},w_{2},\ldots,w_{m}\right)\) בסיסים סדורים של \(V\) ו-\(W\) בהתאמה (\(n:=\dim V\) ו-\(m:=\dim W\)).
הגדרה 3.1. תהא \(T:V\rightarrow W\) העתקה ליניארית, המטריצה המייצגת של \(T\) ביחס ל-\(\MKclb\) ו-\(\MKclc\) היא מטריצה מסדר \(m\times n\) שהעמודה ה-\(j\) שלה היא \(\left[T\left(v_{j}\right)\right]_{\MKclc}\) (לכל \(n\geq j\in\MKnatural\)), כלומר:\[
\left[T\right]_{\MKclc}^{\MKclb}:=\left[\begin{array}{c|c|c|c}
| & | & | & |\\
\left[T\left(v_{1}\right)\right]_{\MKclc} & \left[T\left(v_{1}\right)\right]_{\MKclc} & ... & \left[T\left(v_{n}\right)\right]_{\MKclc}\\
| & | & | & |
\end{array}\right]
\]
- \(\clubsuit\)
- אנחנו נראה בקובץ הטענות כיצד המטריצה המייצגת אכן מייצגת את ההעתקה הליניארית, הביטוי העיקרי לייצוג זה הוא העובדה שלכל \(v\in V\) מתקיים:\[ \left[T\right]_{\MKclc}^{\MKclb}\cdot\left[v\right]_{\MKclb}=\left[T\left(v\right)\right]_{\MKclc} \]
- \(\clubsuit\)
- הסיבה להגדרה זו היא שלכל \(v\in V\) מתקיים \(\left[\MKid_{V}\right]_{\MKclb}^{\MKcla}\cdot\left[v\right]_{\MKcla}=\left[v\right]_{\MKclb}\).
הגדרה 3.2. יהי \(\MKcla\) בסיס סדור של \(V\), המטריצה \(\left[\MKid_{V}\right]_{\MKclb}^{\MKcla}\) נקראת מטריצת מעבר בסיס מ-\(\MKcla\) ל-\(\MKclb\).
יהיו \(V\) ו-\(W\) מרחבים וקטוריים נוצרים סופית מעל לשדה \(\MKfield\), יהיו \(\MKclb\) ו-\(\MKclc\) בסיסים סדורים של \(V\) ו-\(W\) בהתאמה ותהא \(T:V\rightarrow W\) העתקה ליניארית.
3.2 התחלה
טענה 3.3. תהא \(A\in M_{m\times n}\left(\MKfield\right)\) ויהיו \(E_{1}\) ו-\(E_{2}\) הבסיסים הסטנדרטיים של \(\MKfield^{n}\) ו-\(\MKfield^{m}\) בהתאמה, מתקיים \(\left[T_{A}\right]_{E_{2}}^{E_{1}}=A\).
טענה 3.4. נסמן \(n:=\dim V\) ו-\(m:=\dim W\) ותהא \(A\in M_{m\times n}\left(\MKfield\right)\), קיימת ה"ל \(S:V\rightarrow W\) יחידה כך ש-\(A=\left[S\right]_{\MKclc}^{\MKclb}\).
- \(\clubsuit\)
- בהינתן מטריצה \(A\in M_{m\times n}\left(\MKfield\right)\) נוכל למצוא את אותה \(S\) יחידה ע"י הפעלת \(\tau_{\MKclc}\) על כל אחת מעמודות \(A\) בנפרד ובכך למצוא לאן מעתיקה \(T\) את איברי \(\MKclb\) (מה שמגדיר ה"ל יחידה).
- \(\clubsuit\)
- משפט זה הוא הסיבה העיקרית לכך שהמטריצה המייצגת נקראת בשם זה.
- \(\clubsuit\)
- נשים לב לכך שכל אחד מהתנאים דורש שיתקיים \(\dim V=\dim W\).
משפט 3.5. לכל \(v\in V\) מתקיים:\[
\left[T\right]_{\MKclc}^{\MKclb}\cdot\left[v\right]_{\MKclb}=\left[T\left(v\right)\right]_{\MKclc}
\]
הוכחה. נסמן \(n:=\dim V\) ויהיו \(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\in V\) כך ש-\(\MKclb=\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)\), כמו כן יהי \(v\in V\) ונסמן את הקואורדינטה ה-\(i\) של \(\left[v\right]_{\MKclb}\) ב-\(a_{i}\) (לכל \(n\geq i\in\MKnatural\)).
מהגדרת המטריצה המייצגת ומהגדרת כפל מטריצה בווקטור נובע כי:\[\begin{align*} \left[T\right]_{\MKclc}^{\MKclb}\cdot\left[v\right]_{\MKclb} & =\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot\left[T\left(v_{i}\right)\right]_{\MKclc}=\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot\omega_{\MKclc}\left(T\left(v_{i}\right)\right)=\sum_{i=1}^{n}\omega_{\MKclc}\left(a_{i}\cdot T\left(v_{i}\right)\right)\\ & =\sum_{i=1}^{n}\omega_{\MKclc}\left(T\left(a_{i}\cdot v_{i}\right)\right)=\omega_{\MKclc}\left(\sum_{i=1}^{n}T\left(a_{i}\cdot v_{i}\right)\right)\\ & =\omega_{\MKclc}\left(T\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot v_{i}\right)\right)=\omega_{\MKclc}\left(T\left(v\right)\right)=\left[T\left(v\right)\right]_{\MKclc} \end{align*}\]
מהגדרת המטריצה המייצגת ומהגדרת כפל מטריצה בווקטור נובע כי:\[\begin{align*} \left[T\right]_{\MKclc}^{\MKclb}\cdot\left[v\right]_{\MKclb} & =\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot\left[T\left(v_{i}\right)\right]_{\MKclc}=\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot\omega_{\MKclc}\left(T\left(v_{i}\right)\right)=\sum_{i=1}^{n}\omega_{\MKclc}\left(a_{i}\cdot T\left(v_{i}\right)\right)\\ & =\sum_{i=1}^{n}\omega_{\MKclc}\left(T\left(a_{i}\cdot v_{i}\right)\right)=\omega_{\MKclc}\left(\sum_{i=1}^{n}T\left(a_{i}\cdot v_{i}\right)\right)\\ & =\omega_{\MKclc}\left(T\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot v_{i}\right)\right)=\omega_{\MKclc}\left(T\left(v\right)\right)=\left[T\left(v\right)\right]_{\MKclc} \end{align*}\]
מסקנה 3.6. יהי \(U\) מ"ו נ"ס מעל \(\MKfield\), יהי \(\MKcla\) בסיס סדור של \(U\) ותהא \(S:W\rightarrow U\) העתקה ליניארית; מתקיים:\[
\left[S\circ T\right]_{\MKcla}^{\MKclb}=\left[S\right]_{\MKcla}^{\MKclc}\cdot\left[T\right]_{\MKclc}^{\MKclb}
\]
מסקנה 3.7. נסמן \(A:=\left[T\right]_{\MKclc}^{\MKclb}\), מתקיים:\[\begin{align*}
T & =\tau_{\MKclc}\circ T_{A}\circ\omega_{\MKclb}\\
T_{A} & =\omega_{\MKclc}\circ T\circ\tau_{\MKclb}
\end{align*}\]
מסקנה 3.8. מתקיים \(\MKrank\left[T\right]_{\MKclc}^{\MKclb}=\MKrank T\).
הוכחה. נסמן \(A:=\left[T\right]_{\MKclc}^{\MKclb}\), אנחנו יודעים ש-\(\MKrank A=\MKrank T_{A}\) ולכן מספיק שנוכיח כי \(\MKrank T_{A}=\MKrank T\).
אנחנו יודעים ש-\(\omega_{\MKclb},\omega_{\MKclc},\tau_{\MKclb},\tau_{\MKclc}\) הן העתקות ליניאריות הפיכות (כלומר חח"ע ועל), ולכן מטענה 2.15 ומהמסקנה הקודמת (3.5) נובע ש-\(\MKrank T_{A}=\MKrank T\).
אנחנו יודעים ש-\(\omega_{\MKclb},\omega_{\MKclc},\tau_{\MKclb},\tau_{\MKclc}\) הן העתקות ליניאריות הפיכות (כלומר חח"ע ועל), ולכן מטענה 2.15 ומהמסקנה הקודמת (3.5) נובע ש-\(\MKrank T_{A}=\MKrank T\).
מסקנה 3.9. שלושת הפסוקים הבאים שקולים.
- \(T\) הפיכה.
- קיים זוג בסיסים \(B\) ו-\(C\) (של \(V\) ו-\(W\) בהתאמה) כך ש-\(\left[T\right]_{C}^{B}\) הפיכה.
- לכל זוג בסיסים \(B\) ו-\(C\) (של \(V\) ו-\(W\) בהתאמה) המטריצה \(\left[T\right]_{C}^{B}\) הפיכה.
3.3 מטריצת מעבר בסיס
מסקנה 3.10. תכונות של מטריצת מעבר בסיס
יהי \(\MKcla\) בסיס סדור של \(V\) ונסמן \(n:=\dim V\),
יהי \(\MKcla\) בסיס סדור של \(V\) ונסמן \(n:=\dim V\),
- מתקיים \(\left[\MKid_{V}\right]_{\MKclb}^{\MKclb}=I_{n}\).
- לכל \(v\in V\) מתקיים \(\left[\MKid_{V}\right]_{\MKclb}^{\MKcla}\cdot\left[v\right]_{\MKcla}=\left[v\right]_{\MKclb}\).
- יהי \(\SrayaDBasis\) בסיס סדור של \(V\), מתקיים \(\left[\MKid_{V}\right]_{\SrayaDBasis}^{\MKclb}\cdot\left[\MKid_{V}\right]_{\MKclb}^{\MKcla}=\left[\MKid\right]_{\SrayaDBasis}^{\MKcla}\).
- מתקיים \(\left[\MKid_{V}\right]_{\MKcla}^{\MKclb}\cdot\left[\MKid_{V}\right]_{\MKclb}^{\MKcla}=I_{n}\), כלומר אלו מטריצות הפיכות והופכיות זו לזו.
- יהי \(B:=\left(b_{1},b_{2},\ldots,b_{k}\right)\) בסיס סדור של \(\MKfield^{k}\) ונסמן ב-\(E\) את הבסיס הסטנדרטי של \(\MKfield^{n}\), \(\left[\MKid\right]_{E}^{B}\) היא מטריצה שהעמודה ה-\(j\) שלה היא \(b_{j}\) (לכל \(k\geq j\in\MKnatural\)).
- \(\clubsuit\)
- ראינו כבר שמטריצה הפיכה היא מטריצה שהעמודות שלה מהוות בסיס למרחב הקואורדינטות, כעת (לאחר שראינו את סעיפים4ו-5) אנו יכולים לומר שכל המטריצות ההפיכות הן מהצורה \(\left[\MKid\right]_{E}^{B}\) כאשר \(B\) הוא בסיס של מרחב הקואורדינטות המתאים ולכל אחת מהן המטריצה ההופכית היא \(\left[\MKid\right]_{B}^{E}\).
- \(\clubsuit\)
- כלומר ניתן לעבור ממטריצה מייצגת אחת של העתקה ליניארית להצגה אחרת ע"י כפל במטריצות מעבר בסיס מתאימות.
מסקנה 3.11. יהיו \(\MKclb'\) ו-\(\MKclc'\) בסיסים סדורים של \(V\) ו-\(W\) בהתאמה, מתקיים:\[
\left[T\right]_{\MKclc'}^{\MKclb'}=\left[\MKid_{W}\right]_{\MKclc'}^{\MKclc}\cdot\left[T\right]_{\MKclc}^{\MKclb}\cdot\left[\MKid_{V}\right]_{\MKclb}^{\MKclb'}
\]
מסקנה 3.12. תהא \(f:V\rightarrow V\) העתקה לינארית ויהי \(\MKclb'\) בסיס סדור של \(V\), מתקיים:\[\begin{align*}
\left[f\right]_{\MKclb'}^{\MKclb'} & =\left[\MKid_{V}\right]_{\MKclb'}^{\MKclb}\cdot\left[f\right]_{\MKclb}^{\MKclb}\cdot\left[\MKid_{V}\right]_{\MKclb}^{\MKclb'}\\
& =\left(\left[\MKid_{V}\right]_{\MKclb}^{\MKclb'}\right)^{-1}\cdot\left[f\right]_{\MKclb}^{\MKclb}\cdot\left[\MKid_{V}\right]_{\MKclb}^{\MKclb'}
\end{align*}\]
4 דמיון מטריצות
4.1 הגדרות
יהי \(\MKfield\) שדה.
- \(\clubsuit\)
- בפרק הקודם ראינו שניתן לייצג ע"י מטריצה כל העתקה ליניארית על מרחבים וקטוריים נוצרים סופית, הדרך שבה ייצגנו את העתקה ליניארית הסתמכה על בחירת בסיסים שרירותיים למרחבים הווקטוריים המהווים את התחום והטווח שלה - לו היינו בוחרים בסיסים אחרים ייתכן שהיינו מקבלים מטריצה מייצגת שונה; ההבנה הזו גורמת לנו לרצות ולהגדיר יחס שקילות בין מטריצות המייצגות את אותה העתקה ליניארית.
- \(\clubsuit\)
- כדי לפשט את העניין אנחנו לא עומדים לעסוק בכל הדרכים לייצג ה"ל באמצעות מטריצה אלא רק בדרכים שבהן הבסיס של התחום והבסיס של הטווח זהים - כלומר ייצוג מהצורה \(\left[f\right]_{\MKclb}^{\MKclb}\), ממילא זה אומר שנעסוק אך ורק בהעתקות ליניאריות ממרחב וקטורי לעצמו ויחס השקילות המבוקש יוגדר על מטריצות ריבועיות בלבד. בפרק הקודם ראינו (בקובץ הטענות) שניתן לעבור ממטריצה מייצגת אחת של העתקה ליניארית להצגה אחרת ע"י כפל במטריצות מעבר בסיס מתאימות (אחת מימין ואחת משמאל), ובנוסף, אם מדובר בהעתקה ליניארית ממ"ו נ"ס לעצמו ואנו עוסקים רק בייצוגים מהצורה \(\left[f\right]_{\MKclb}^{\MKclb}\) אז מטריצות המעבר המתאימות הופכיות זו לזו (וכמובן שגם המטריצות המייצגות ריבועיות).
- \(\clubsuit\)
- העמודות של מטריצה הפיכה \(P\) הן בסיס ו-\(P\) היא מטריצת המעבר מבסיס זה אל הבסיס הסטנדרטי, לפיכך \(P^{-1}\) היא מטריצת המעבר מהבסיס הסטנדרטי לבסיס העמודות של \(P\) ולכן קיום השוויון הנ"ל מראה ש-\(T_{A}\) ו-\(T_{B}\) הם בעצם אותה העתקה ליניארית אך ביחס לבסיסים שונים שכן מתקיים (כאשר \(\MKclc\) הוא בסיס העמודות של \(P\)):\[ \left[T_{A}\right]_{E}^{E}=\left[\MKid\right]_{\MKclc}^{E}\cdot\left[T_{B}\right]_{E}^{E}\cdot\left[\MKid\right]_{E}^{\MKclc}=\left[T_{B}\right]_{\MKclc}^{\MKclc} \]
- \(\clubsuit\)
- כשנלמד על הדטרמיננטה נראה שגם הדטרמיננטות של מטריצות דומות הן שוות.
- \(\clubsuit\)
- כל התכונות הללו יכולות לקבוע ששתי מטריצות אינן דומות (אם אחת התכונות אינה מתקיימת) אך אינן יכולות לומר ששתי מטריצות נתונות דומות זו לזו, בקורס הבא אנחנו נראה כיצד ניתן (בתנאים מסוימים) לקבוע באופן חד משמעי אם שתי מטריצות דומות זו לזו אם לאו.
מה יקרה אם נרשה לעצמנו להשתמש בייצוגים שבהם הבסיס של הטווח והבסיס של התחום אינם זהים, ברור שלא נוכל להשתמש בהגדרה שלהלן אך אולי יש בכל זאת דרך לדבר על זה?
הגדרה 4.1. שתי מטריצות ריבועיות \(A,B\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) תיקראנה דומות זו לזו2זהו יחס שקילות ולכן אין צורך להקפיד ולומר ש-\(A\) דומה ל-\(B\) או להפך. אם קיימת מטריצה הפיכה \(P\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) כך שמתקיים \(A=P^{-1}\cdot B\cdot P\), ואז נסמן \(A\sim B\).
מסקנה 4.2. דמיון מטריצות הוא יחס שקילות.
יהי \(V\) מ"ו נ"ס מעל לשדה \(\MKfield\) ונסמן \(n:=\dim V\).
טענה 4.3. לכל בסיס \(\MKclb\) של \(V\) ולכל מטריצה הפיכה \(P\in M_{n}\left(\MKfield\right)\), קיים בסיס יחיד \(\MKclc\) של \(V\) כך ש-\(\left[\MKid_{V}\right]_{\MKclb}^{\MKclc}=P\).
הוכחה. לכל \(n\geq i\in\MKnatural\) נסמן \(v_{i}:=\tau_{\MKclb}\left(c_{i}\right)\) כאשר \(c_{i}\) היא העמודה ה-\(i\) של \(P\); סדרת העמודות של \(P\) היא בסיס של \(\MKfield^{n}\) ו-\(\tau_{\MKclb}\) היא העתקה ליניארית הפיכה, מכאן שע"פ מסקנה 2.8 הסדרה \(\MKclc:=\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)\) היא בסיס סדור של \(V\); מהגדרה מתקיים \(\left[\MKid_{V}\left(v_{i}\right)\right]_{\MKclb}=\left[v_{i}\right]_{\MKclb}=c_{i}\) לכל \(n\geq i\in\MKnatural\) ומכאן ש-\(\left[\MKid_{V}\right]_{\MKclb}^{\MKclc}=P\). א"כ הוכחנו את הקיום של בסיס כנ"ל, היחידות נובעת מההפיכות של \(\omega_{\MKclb}\) ומהעובדה שכל בסיס \(\left(w_{1},w_{2},\ldots,w_{n}\right)\) כנ"ל מוכרח לקיים \(\left[\MKid_{V}\left(w_{i}\right)\right]_{\MKclb}=\left[w_{i}\right]_{\MKclb}=c_{i}\).
מסקנה 4.4. תהא \(f:V\rightarrow V\) העתקה ליניארית, לכל בסיס \(\MKclb\) של \(V\) ולכל מטריצה \(A\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) כך ש-\(A\sim\left[f\right]_{\MKclb}^{\MKclb}\) קיים בסיס \(\MKclc\) של \(V\) כך ש-\(\left[f\right]_{\MKclc}^{\MKclc}=A\).
מסקנה 4.5. תהא \(f:V\rightarrow V\) העתקה ליניארית, לכל זוג בסיסים \(\MKclb\) ו-\(\MKclc\) של \(V\) מתקיים \(\left[f\right]_{\MKclb}^{\MKclb}\sim\left[f\right]_{\MKclc}^{\MKclc}\).
משפט 4.6. תכונות של מטריצות דומות
תהיינה \(A,B\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) כך ש-\(A\sim B\), מתקיימים כל הפסוקים הבאים:
תהיינה \(A,B\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) כך ש-\(A\sim B\), מתקיימים כל הפסוקים הבאים:
- \(\MKrank A=\MKrank B\).
- \(\MKtrace A=\MKtrace B\).
- \(c\cdot A\sim c\cdot B\) לכל \(c\in\MKfield\).
- לכל \(c\in\MKfield\) מתקיים \(A+c\cdot I_{n}\sim B+c\cdot I_{n}\).
- אם \(A\) היא מטריצה סקלרית3כזכור \(A\) היא מטריצה סקלרית אם"ם קיים \(c\in\MKfield\) כך ש-\(A=c\cdot I_{n}\). אז \(A=B\).
- \(A^{m}\sim B^{m}\) לכל \(m\in\MKnatural\).
- אם \(A^{2}=A\) אז \(B^{2}=B\)4כלומר אם \(A\) מייצגת הטלה (בפרק הבא) אז גם \(B\) מייצגת הטלה..
הוכחה. תהא \(P\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) מטריצה הפיכה כך ש-\(A=P^{-1}\cdot B\cdot P\).
- כשלמדנו על מטריצות ומרחבי קואורדינטות ראינו שכפל במטריצה הפיכה (הן מימין והן משמאל) אינו משנה את הדרגה.
- מטענה 2.15 ומהקיבוץ של כפל מטריצות נובע שמתקיים:\[\begin{align*} \MKtrace\left(A\right) & =\MKtrace\left(P^{-1}\cdot\left(B\cdot P\right)\right)=\MKtrace\left(\left(B\cdot P\right)\cdot P^{-1}\right)\\ & =\MKtrace\left(B\cdot\left(P\cdot P^{-1}\right)\right)=\MKtrace\left(B\cdot I_{n}\right)=\MKtrace\left(B\right) \end{align*}\]
5 נספחים
5.1 הגדרות
יהי \(V\) מ"ו מעל לשדה \(\MKfield\).
הגדרה 5.1. יהיו \(W,U\subseteq V\) תתי-מרחבים כך ש-\(V=W\oplus U\) (נניח שיש כאלה).
ההטלה על \(W\) במקביל ל-\(U\) היא הפונקציה \(p:V\rightarrow V\) המוגדרת ע"י \(p\left(w+u\right):=w\) לכל \(w\in W\) ולכל \(u\in U\),
כלומר \(p\) מפרקת כל וקטור \(v\in V\) לרכיביו ב-\(W\) וב-\(U\) ומחזירה את הרכיב שב-\(W\) בלבד.
ההטלה על \(W\) במקביל ל-\(U\) היא הפונקציה \(p:V\rightarrow V\) המוגדרת ע"י \(p\left(w+u\right):=w\) לכל \(w\in W\) ולכל \(u\in U\),
כלומר \(p\) מפרקת כל וקטור \(v\in V\) לרכיביו ב-\(W\) וב-\(U\) ומחזירה את הרכיב שב-\(W\) בלבד.
- \(\clubsuit\)
- במילים אחרות: \(W=\MKim p\), \(U=\ker p\) ו-\(p\mid_{W}=\MKid_{W}\); א"כ \(V=\MKim p\oplus\ker p\)5שימו לב שלא כל פונקציה המקיימת את השוויון \(V=\MKim p\oplus\ker p\) היא הטלה מפני שלא בהכרח מתקיים גם \(p\mid_{W}=\MKid_{W}\)..
- \(\clubsuit\)
- אנחנו מכירים בעיקר את ההטלה של וקטור על אחד הצירים ב-\(\MKreal^{2}\) או ב-\(\MKreal^{3}\) שהיא הטלה על ציר אחד במקביל לצירים המאונכים לו, אך ניתן להטיל על תתי-מרחבים אחרים ובצורה שאינה אנכית.
- \(\clubsuit\)
- במקומות אחרים (כגון ויקיפדיה) מגדירים הטלה כהעתקה ליניארית \(p:V\rightarrow V\) המקיימת \(p^{2}=p\), זוהי הגדרה שקולה ואנחנו נראה זאת בקובץ ההוכחות.
- \(\clubsuit\)
- כלומר בשיקוף יש תמ"ו אחד המתפקד כ"מראה" ולפיכך אינו משתנה וכל שאר המרחב "משתקף" בו - כלומר הופך את כיוונו.
- \(\clubsuit\)
- ראשית, שכנעו את עצמכם שסיבוב של המישור ב-\(\theta\) רדיאנים נגד כיוון השעון הוא אכן העתקה ליניארית, כלומר הוא שומר על החיבור הווקטורי ועל הכפל בסקלר - זה דורש מעט דמיון.
כעת מהי המטריצה המייצגת של העתקה ליניארית כזו (בבסיס הסטנדרטי)? - \(\clubsuit\)
- ואכן, כשמסובבים את המישור ב-\(\theta\) רדיאנים נגד כיוון השעון הווקטור \(\begin{bmatrix}1\\ 0 \end{bmatrix}\) מועתק לווקטור \(\begin{bmatrix}\cos\theta\\ \sin\theta \end{bmatrix}\) והווקטור \(\begin{bmatrix}0\\ 1 \end{bmatrix}\) מועתק לווקטור \(\begin{bmatrix}-\sin\theta\\ \cos\theta \end{bmatrix}\).
- \(\clubsuit\)
- כעת ניתן להוכיח את הזהויות הטריגונומטריות של קוסינוס וסינוס של סכום זוויות6לכל \(\alpha,\beta\in\MKreal\) מתקיים:\[\begin{align*} \sin\left(\alpha\pm\beta\right) & =\sin\alpha\cdot\cos\beta\pm\cos\alpha\cdot\sin\beta\\ \cos\left(\alpha\pm\beta\right) & =\cos\alpha\cdot\cos\beta\mp\sin\alpha\cdot\sin\beta \end{align*}\] באמצעות כפל מטריצות, מבחינה גאומטרית ברור שסיבוב של המישור ב-\(\beta\) רדיאנים ואח"כ סיבוב ב-\(\alpha\) רדיאנים שקול לסיבוב ב-\(\alpha+\beta\) רדיאנים ולכן מהשקילות בין כפל מטריצות להרכבת העתקות ליניאריות נובע שמתקיים:\[ {\color{purple}\left[\begin{array}{cc} \cos\left(\alpha+\beta\right) & -\sin\left(\alpha+\beta\right)\\ \sin\left(\alpha+\beta\right) & \cos\left(\alpha+\beta\right) \end{array}\right]}={\color{red}\left[\begin{array}{cc} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{array}\right]}\cdot{\color{blue}\left[\begin{array}{cc} \cos\beta & -\sin\beta\\ \sin\beta & \cos\beta \end{array}\right]} \]מהגדרת כפל מטריצות נובע שמתקיים:\[\begin{align*} \cos\left(\alpha+\beta\right) & ={\color{red}\cos\alpha}\cdot{\color{blue}\cos\beta}{\color{red}-\sin\alpha}\cdot{\color{blue}\sin\beta}\\ \sin\left(\alpha+\beta\right) & ={\color{red}\sin\alpha}\cdot{\color{blue}\cos\beta}+{\color{red}\cos\alpha}\cdot{\color{blue}\sin\beta} \end{align*}\]
- \(\clubsuit\)
- המושג הזה אינו מקובל אך כולם יבינו את כוונתו משמו בלבד.
- \(\clubsuit\)
- כלומר סכום של העתקות ליניאריות וכפל העתקה ליניארית בסקלר הם העתקות ליניאריות, ובנוסף, מתקיימות
- סימון:
- נסמן את מחלקת השקילות של וקטור \(v\in V\) ביחס הנ"ל ע"י \(\left[v\right]\).
- סימון:
- תהא \(\pi:V\rightarrow V/W\) העתקת המנה המוגדרת ע"י \(\pi\left(v\right)=\left[v\right]\).
- \(\clubsuit\)
- נשים לב \(S\) אינה בהכרח בסיס ולכן \(x\) אינו בהכרח וקטור הקואורדינטות של \(\sum_{i=1}^{n}x_{i}\cdot v_{i}\).
- \(\clubsuit\)
- כפי שכבר הזכרנו בעבר ניתן להתייחס למטריצה ב-\(M_{m\times n}\left(\MKfield\right)\) כסדרה של \(n\) וקטורים ב-\(\MKfield^{m}\), מנקודת זו ההגדרה שהגדרנו זה עתה היא הכללה של כפל מטריצה בווקטור.
- \(\clubsuit\)
- ושוב, מנקודת המבט של האיזומורפיזם בין \(M_{m\times n}\left(\MKfield\right)\) ל-\(\left(\MKfield^{m}\right)^{n}\) הגדרה זו היא הכללה של כפל מטריצות.
באיור הבא ניתן לראות כיצד מתבצעת הטלה על ישר אחד במקביל לישר אחר בתוך המישור (\(\MKreal^{2}\)):
כל וקטור שנמצא על קו מקווקו מועתק אל הנקודה שעליה מצביע החץ המתאים, כלומר המישור מתכווץ לתוך הישר הכחול ע"פ הזווית שמגדיר הישר האדום.
איור 1: הטלה על הישר הכחול במקביל לישר האדום
הגדרה 5.2. יהיו \(W,U\subseteq V\) תתי-מרחבים כך ש-\(V=W\oplus U\) (נניח שיש כאלה).
השיקוף ביחס ל-\(W\) (או דרך \(W\)) ובמקביל ל-ֹ\(U\) היא הפונקציה \(r:V\rightarrow V\) המוגדרת ע"י \(r\left(w+u\right)=w-u\),
כלומר \(r\) מפרקת כל וקטור \(v\in V\) לרכיביו ב-\(W\) וב-\(U\) ואז היא הופכת את הכיוון של הרכיב ב-\(U\) ומשאירה את הרכיב ב-\(W\) על כנו.
השיקוף ביחס ל-\(W\) (או דרך \(W\)) ובמקביל ל-ֹ\(U\) היא הפונקציה \(r:V\rightarrow V\) המוגדרת ע"י \(r\left(w+u\right)=w-u\),
כלומר \(r\) מפרקת כל וקטור \(v\in V\) לרכיביו ב-\(W\) וב-\(U\) ואז היא הופכת את הכיוון של הרכיב ב-\(U\) ומשאירה את הרכיב ב-\(W\) על כנו.
מסקנה 5.3. הטלות ושיקופים הן העתקות ליניאריות.
הגדרה 5.4. מטריצת הסיבוב ב-\(\theta\) רדיאנים נגד כיוון השעון היא המטריצה (לכל \(\theta\in\MKreal\)):\[
R\left(\theta\right):=\left[\begin{array}{cc}
\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta
\end{array}\right]
\]
הגדרה 5.5. מטריצה \(A\in M_{2}\left(\MKreal\right)\) תיקרא מטריצת סיבוב ומתיחה אם ניתן להציג אותה ככפולה של מטריצת סיבוב בסקלר אי-שלילי, כלומר אם קיימים \(0\leq c\in\MKreal\) ו-\(\theta\in\MKreal\) כך שמתקיים \(A=c\cdot R\left(\theta\right)\).
הגדרה 5.6. יהי גם \(W\) מרחב וקטורי מעל \(\MKfield\), נסמן ב-\(\MKhom\left(V,W\right)\) את קבוצת ההעתקות הליניאריות מ-\(V\) ל-\(W\) ולאחר שנוכיח שהיא מ"ו נקרא לה מרחב ההעתקות (הליניאריות) מ-\(V\) ל-\(W\).
טענה. קבוצת ההעתקות הליניאריות \(\MKhom\left(V,W\right)\), יחד עם פעולות החיבור והכפל בסקלר שלה7לכל \(f,g:A\rightarrow\MKfield\) הגדרנו את \(f+g\) ע"י \(\left(f+g\right)\left(x\right):=f\left(x\right)+g\left(x\right)\) (לכל \(x\in\MKfield\)), ולכל \(f:A\rightarrow\MKfield\) ו-\(c\in\MKfield\) הגדרנו את \(c\cdot f\) ע"י \(\left(c\cdot f\right)\left(x\right):=c\cdot f\left(x\right)\)., היא מרחב וקטורי מעל \(\MKfield\) (לכל מ"ו \(W\) מעל \(\MKfield\)).
הגדרה 5.7. יהי \(W\subseteq V\) תמ"ו, נאמר ששני וקטורים \(v,u\in V\) שקולים זה לזה ביחס ל-\(W\) אם \(v-u\in W\) ונסמן \(v\sim u\).
טענה 5.8. היחס שהוגדר לעיל הוא אכן יחס שקילות.
הגדרה 5.9. יהי \(W\subseteq V\) תמ"ו, נסמן את קבוצת מחלקות השקילות (קבוצת המנה) של היחס הנ"ל ב-\(V/W\) ולאחר שנוכיח שהיא מ"ו נקרא לה מרחב המנה של \(W\).
הגדרה 5.10. תהא \(S:=\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)\) סדרת וקטורים ב-\(V\) ויהי \(x\in\MKfield^{n}\), נגדיר את המכפלה \(S\cdot x\) ע"י:\[
S\cdot x=\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)\cdot x:=\sum_{i=1}^{n}x_{i}\cdot v_{i}
\]
הגדרה 5.11. תהא \(S:=\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)\) סדרת וקטורים ב-\(V\) ותהא \(A\in M_{n\times m}\left(\MKfield\right)\) מטריצה, נגדיר את המכפלה \(S\cdot A\) ע"י:\[
S\cdot A=S\cdot\left[\begin{array}{cccc}
\mid & \mid & \mid & \mid\\
c_{1} & c_{2} & \cdots & c_{m}\\
\mid & \mid & \mid & \mid
\end{array}\right]:=\left(S\cdot c_{1},S\cdot c_{2},\ldots,S\cdot c_{m}\right)
\]כלומר \(S\cdot A\) היא סדרה באורך \(m\) של וקטורים ב-\(V\) שהאיבר ה-\(j\) שלה הוא \(\begin{alignedat}{1}\sum_{i=1}^{n}\left[A\right]_{ij}\cdot v_{i}\end{alignedat}
\) (לכל \(m\geq j\in\MKnatural\)).
יהי \(V\) מרחב וקטורי מעל לשדה \(\MKfield\).
5.2 הטלות ושיקופים
נניח שניתן להציג את \(V\) כסכום ישר של שני תמ"וים שלו.
טענה 5.12. תהא \(p:V\rightarrow V\) העתקה ליניארית, \(p\) היא הטלה אם"ם \(p^{2}=p\).
הוכחה. \(\:\)
- \(\Leftarrow\)
נניח ש-\(p\) היא הטלה על תמ"ו \(W\subseteq V\) ביחס לתמ"ו \(U\subseteq V\) (\(V=W\oplus U\)) ויהי \(v\in V\).
יהיו \(w\in W\) ו-\(u\in U\) אותם וקטורים יחידים המקיימים \(v=w+u\), מהגדרה מתקיים:\[ p^{2}\left(v\right)=p\left(p\left(w+u\right)\right)=p\left(w\right)=w=p\left(v\right) \]\(v\) הנ"ל היה שרירותי ומכאן שמתקיים \(p^{2}\left(v\right)=p\left(v\right)\) לכל \(v\in V\), כלומר \(p^{2}=p\). - \(\Rightarrow\)
נניח ש-\(p^{2}=p\) ויהי \(v'\in V\), נסמן \(w':=p\left(v'\right)\) ו-\(u':=v'-w'\) (מהגדרה \(v'=w'+u'\)).\[\begin{align*} & \Rightarrow p\left(w'\right)=p^{2}\left(v'\right)=p\left(v'\right)\\ & \Rightarrow p\left(u'\right)=p\left(v'-w'\right)=p\left(v'\right)-p\left(w'\right)=0_{V} \end{align*}\]\(v'\) הנ"ל היה שרירותי ומכאן שניתן להציג כל וקטור ב-\(V\) כסכום של וקטור מ-\(\MKim p\) ווקטור מ-\(\ker p\), א"כ \(V=\MKim p+\ker p\).
יהי \(y\in\MKim p\cap\ker p\) ויהי \(x\in V\) כך ש-\(p\left(x\right)=y\) (כאן השתמשנו בעובדה ש-\(y\in\MKim p\)), א"כ מתקיים \(y=p\left(x\right)=p^{2}\left(x\right)=p\left(y\right)=0_{V}\) (כאן השתמשנו בעובדה ש-\(y\in\ker p\)).\[\begin{align*} & \Rightarrow\MKim p\cap\ker p=\left\{ 0_{V}\right\} \\ & \Rightarrow V=\MKim p\oplus\ker p \end{align*}\]מהעובדה ש-\(p^{2}=p\) נובע גם ש-\(p\mid_{\MKim p}=\MKid_{\MKim p}\) שכן לכל \(y'\in\MKim p\) ולכל \(x'\in V\) כך ש-\(p\left(x'\right)=y'\) מתקיים \(y'=p\left(x'\right)=p^{2}\left(x'\right)=p\left(y'\right)\).
מכאן שעבור \(v'\) הנ"ל מתקיים \(p\left(v'\right)=p\left(w'+u'\right)=p\left(w'\right)+p\left(u'\right)=w'+0_{V}=w'\) ומכיוון ש-\(v'\) היה שרירותי נובע מזה ש-\(p\) היא העתקה (נזכור ש-\(w'\) ו-\(u'\) הם אותם וקטורים יחידים המקיימים \(w'\in\MKim p\), \(u'\in\ker p\) ו-\(v'=w'+u'\)).
משפט 5.13. תכונות של הטלות
תהא \(p:V\rightarrow V\) הטלה על תמ"ו \(W\) במקביל לתמ"ו \(U\) (\(V=W\oplus U\)), מתקיימים כל הפסוקים הבאים:
תהא \(p:V\rightarrow V\) הטלה על תמ"ו \(W\) במקביל לתמ"ו \(U\) (\(V=W\oplus U\)), מתקיימים כל הפסוקים הבאים:
- \(\MKid_{V}-p\) היא ההטלה על \(U\) במקביל ל-\(W\).
- נסמן ב-\(q\) את ההטלה על \(U\) במקביל ל-\(W\), מתקיים \(p+q=\MKid_{V}\).
- \(p\circ q=0=q\circ p\).
הוכחה. יהי \(v\in V\) ויהיו \(w\in W\) ו-\(u\in U\) אותם וקטורים יחידים המקיימים \(v=w+u\).\[\begin{align*}
\Rightarrow\left(\MKid_{V}-p\right)\left(v\right) & =\MKid_{V}\left(v\right)-p\left(v\right)=v-w=u\\
\Rightarrow\left(p+q\right)\left(v\right) & =p\left(v\right)+q\left(v\right)=w+u=v\\
\Rightarrow\left(p\circ q\right)\left(v\right) & =p\left(q\left(v\right)\right)=p\left(u\right)=0_{V}\\
& =q\left(w\right)=q\left(p\left(v\right)\right)=\left(q\circ p\right)\left(v\right)
\end{align*}\]\(v\) הנ"ל היה שרירותי ולכן הנ"ל מתקיים לכל \(v\in V\) ובך הוכחנו את שלושת הסעיפים.
טענה 5.14. כל שיקוף \(r:V\rightarrow V\) הוא העתקה הפיכה ובנוסף הוא ההעתקה ההופכית של עצמו.
הוכחה. יהי \(r:V\rightarrow V\) שיקוף דרך תמ"ו \(W\subseteq V\) ובמקביל לתמ"ו \(U\subseteq V\) (\(V=W\oplus U\)).
יהי \(v\in V\) ויהיו \(w\in W\) ו-\(u\in U\) אותם וקטורים יחידים המקיימים \(v=w+u\),\[ \Rightarrow\left(r\circ r\right)\left(v\right)=r\left(r\left(w+u\right)\right)=r\left(w-u\right)=r\left(w+\left(-u\right)\right)=w-\left(-u\right)=w+u=v=\MKid_{V}\left(v\right) \]\(v\) הנ"ל היה שרירותי ומכאן ש-\(r\circ r=\MKid_{V}\) ומהגדרה הפונקציה \(r\) הפיכה ו-\(r^{-1}=r\).
יהי \(v\in V\) ויהיו \(w\in W\) ו-\(u\in U\) אותם וקטורים יחידים המקיימים \(v=w+u\),\[ \Rightarrow\left(r\circ r\right)\left(v\right)=r\left(r\left(w+u\right)\right)=r\left(w-u\right)=r\left(w+\left(-u\right)\right)=w-\left(-u\right)=w+u=v=\MKid_{V}\left(v\right) \]\(v\) הנ"ל היה שרירותי ומכאן ש-\(r\circ r=\MKid_{V}\) ומהגדרה הפונקציה \(r\) הפיכה ו-\(r^{-1}=r\).
5.3 סיבובים
טענה 5.15. כל מטריצת סיבוב היא מטריצה הפיכה וההופכית שלה היא מטריצת הסיבוב בזווית הנגדית, כלומר ההופכית של \(R\left(\theta\right)\) היא \(R\left(-\theta\right)\) (לכל \(\theta\)).
הוכחה. מהגדרת כפל מטריצות ומטריגונומטריה בסיסית8לכל \(\alpha,\beta\in\MKreal\) מתקיים:\[\begin{align*}
\sin\left(\alpha+\beta\right) & =\sin\alpha\cdot\cos\beta+\cos\alpha\cdot\sin\beta\\
\cos\left(\alpha+\beta\right) & =\cos\alpha\cdot\cos\beta-\sin\alpha\cdot\sin\beta
\end{align*}\] נובע שלכל \(\theta\in\MKreal\) מתקיים:\[\begin{align*}
{\color{red}R\left(\theta\right)}\cdot{\color{blue}R\left(-\theta\right)} & ={\color{red}\left[\begin{array}{cc}
\cos\left(\theta\right) & -\sin\left(\theta\right)\\
\sin\left(\theta\right) & \cos\left(\theta\right)
\end{array}\right]}\cdot{\color{blue}\left[\begin{array}{cc}
\cos\left(-\theta\right) & -\sin\left(-\theta\right)\\
\sin\left(-\theta\right) & \cos\left(-\theta\right)
\end{array}\right]}\\
& =\left[\begin{array}{c|c}
{\color{red}\cos\left(\theta\right)}\cdot{\color{blue}\cos\left(-\theta\right)}{\color{red}-\sin\left(\theta\right)}\cdot{\color{blue}\sin\left(-\theta\right)} & {\color{red}\cos\left(\theta\right)}\cdot{\color{blue}\left(-\sin\left(-\theta\right)\right)}{\color{red}-\sin\left(\theta\right)}\cdot{\color{blue}\cos\left(-\theta\right)}\\
\hline {\color{red}\sin\left(\theta\right)}\cdot{\color{blue}\cos\left(-\theta\right)}+{\color{red}\cos\left(\theta\right)}\cdot{\color{blue}\sin\left(-\theta\right)} & {\color{red}\sin\left(\theta\right)}\cdot{\color{blue}\left(-\sin\left(-\theta\right)\right)}+{\color{red}\cos\left(\theta\right)}\cdot{\color{blue}\cos\left(-\theta\right)}
\end{array}\right]\\
& =\left[\begin{array}{c|c}
{\color{red}\cos\left(\theta\right)}\cdot{\color{blue}\cos\left(-\theta\right)}{\color{red}-\sin\left(\theta\right)}\cdot{\color{blue}\sin\left(-\theta\right)} & -{\color{red}\cos\left(\theta\right)}\cdot{\color{blue}\sin\left(-\theta\right)}{\color{red}-\sin\left(\theta\right)}\cdot{\color{blue}\cos\left(-\theta\right)}\\
\hline {\color{red}\sin\left(\theta\right)}\cdot{\color{blue}\cos\left(-\theta\right)}+{\color{red}\cos\left(\theta\right)}\cdot{\color{blue}\sin\left(-\theta\right)} & {\color{red}\cos\left(\theta\right)}\cdot{\color{blue}\cos\left(-\theta\right)}-{\color{red}\sin\left(\theta\right)}\cdot{\color{blue}\sin\left(-\theta\right)}
\end{array}\right]\\
& ={\color{purple}\left[\begin{array}{cc}
\cos\left(\theta+\left(-\theta\right)\right) & -\sin\left(\theta+\left(-\theta\right)\right)\\
\sin\left(\theta+\left(-\theta\right)\right) & \cos\left(\theta+\left(-\theta\right)\right)
\end{array}\right]}={\color{purple}\left[\begin{array}{cc}
\cos\left(0\right) & -\sin\left(0\right)\\
\sin\left(0\right) & \cos\left(0\right)
\end{array}\right]}={\color{purple}R\left(0\right)}=I_{n}
\end{align*}\]
מסקנה 5.16. כל מטריצת סיבוב ומתיחה שאינה מטריצת האפס היא מטריצה הפיכה, וההופכית שלה היא מטריצת הסיבוב והמתיחה המהווה את מטריצת הסיבוב בזווית הנגדית כשהיא מוכפלת בסקלר ההופכי, כלומר המטריצה ההופכית של מטריצת סיבוב ומתיחה \(c\cdot R\left(\theta\right)\) היא \(c^{-1}\cdot R\left(-\theta\right)\) (לכל \(c,\theta\in\MKreal\) כך ש-\(c\neq0\)).
טענה 5.17. יהיו \(a,b\in\MKreal\), המטריצה:\[
\left[\begin{array}{cc}
a & -b\\
b & a
\end{array}\right]
\]היא מטריצת סיבוב ומתיחה, כלומר קיימים \(c,\theta\in\MKreal\) כך שמתקיים \(a=c\cdot\cos\theta\) ו-\(b=c\cdot\sin\theta\).
הוכחה. ע"פ משפט פיתגורס והגדרת \(\cos\) ו-\(\sin\) קיימת \(\theta\in\MKreal\) כך שמתקיים:\[\begin{align*}
\cos\theta & =\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\\
\sin\theta & =\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}
\end{align*}\]תהא \(\theta\in\MKreal\) כנ"ל, א"כ מתקיים:\[
\left[\begin{array}{cc}
a & -b\\
b & a
\end{array}\right]=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cdot\left[\begin{array}{cc}
\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} & -\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\\
\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} & \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}
\end{array}\right]=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cdot\left[\begin{array}{cc}
\cos\left(\theta\right) & -\sin\left(\theta\right)\\
\sin\left(\theta\right) & \cos\left(\theta\right)
\end{array}\right]=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cdot R\left(\theta\right)
\]
- \(\clubsuit\)
- כמובן שגם הכיוון ההפוך נכון: כל מטריצת סיבוב ומתיחה היא מהצורה הנ"ל.
- \(\clubsuit\)
- למעשה מדובר בשדה מוכר למדי - זהו שדה המרוכבים!
לכל \(a,b,c,d\in\MKreal\) מתקיים:\[ \left[\begin{array}{cc} a & -b\\ b & a \end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{cc} c & -d\\ d & c \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} ac-bd & -ad-bc\\ bc+ad & -bd+ac \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} {\color{red}ac-bd} & -\left({\color{blue}bc+ad}\right)\\ {\color{blue}bc+ad} & {\color{red}ac-bd} \end{array}\right] \]וגם: \(\left(a+bi\right)\cdot\left(c+di\right)=\left({\color{red}ac-bd}\right)+\left({\color{blue}ad+bc}\right)\cdot i\).
טענה 5.18. לכל שתי מטריצות סיבוב ומתיחה \(A,B\in M_{2}\left(\MKreal\right)\) מתקיים \(A\cdot B=B\cdot A\), כלומר כפל מטריצות סיבוב ומתיחה מקיים את חוק החילוף.
הוכחה. יהיו \(0\leq a,b\in\MKreal\) ו-\(\alpha,\beta\in\MKreal\) כך ש-\(A=a\cdot R\left(\alpha\right)\) ו-\(B=b\cdot\left(\beta\right)\), מהגדרת כפל מטריצות ומטריגונומטריה בסיסית נובע כי:\[\begin{align*}
{\color{blue}A}\cdot{\color{red}B} & ={\color{red}\left(a\cdot\left[\begin{array}{cc}
\cos\alpha & -\sin\alpha\\
\sin\alpha & \cos\alpha
\end{array}\right]\right)}\cdot{\color{blue}\left(b\cdot\left[\begin{array}{cc}
\cos\beta & -\sin\beta\\
\sin\beta & \cos\beta
\end{array}\right]\right)}\\
& ={\color{red}a}\cdot{\color{blue}b}\cdot\left[\begin{array}{c|c}
{\color{red}\cos\alpha}\cdot{\color{blue}\cos\beta}{\color{red}-\sin\alpha}\cdot{\color{blue}\sin\beta} & {\color{red}\cos\alpha}\cdot{\color{blue}\left(-\sin\beta\right)}{\color{red}-\sin\alpha}\cdot{\color{blue}\cos\left(\beta\right)}\\
\hline {\color{red}\sin\alpha}\cdot{\color{blue}\cos\beta}+{\color{red}\cos\alpha}\cdot{\color{blue}\sin\beta} & {\color{red}\sin\alpha}\cdot{\color{blue}\left(-\sin\beta\right)}+{\color{red}\cos\alpha}\cdot{\color{blue}\cos\left(\beta\right)}
\end{array}\right]\\
& ={\color{red}a}\cdot{\color{blue}b}\cdot\left[\begin{array}{c|c}
\cos\left({\color{red}\alpha}+{\color{blue}\beta}\right) & \sin\left({\color{red}\alpha}+{\color{blue}\beta}\right)\\
\hline \sin\left({\color{red}\alpha}+{\color{blue}\beta}\right) & \cos\left({\color{red}\alpha}+{\color{blue}\beta}\right)
\end{array}\right]={\color{red}a}\cdot{\color{blue}b}\cdot\left[\begin{array}{c|c}
\cos\left({\color{blue}\beta}+{\color{red}\alpha}\right) & \sin\left({\color{blue}\beta}+{\color{red}\alpha}\right)\\
\hline \sin\left({\color{blue}\beta}+{\color{red}\alpha}\right) & \cos\left({\color{blue}\beta}+{\color{red}\alpha}\right)
\end{array}\right]\\
& ={\color{blue}\left(b\cdot\left[\begin{array}{cc}
\cos\beta & -\sin\beta\\
\sin\beta & \cos\beta
\end{array}\right]\right)}\cdot{\color{red}\left(a\cdot\left[\begin{array}{cc}
\cos\alpha & -\sin\alpha\\
\sin\alpha & \cos\alpha
\end{array}\right]\right)}={\color{red}B}\cdot{\color{blue}A}
\end{align*}\]
מסקנה 5.19. קבוצת מטריצות הסיבוב והמתיחה היא שדה.
5.4 מרחב ההעתקות
טענה 5.20. יהי \(W\) גם הוא מ"ו מעל \(\MKfield\), קבוצת ההעתקות הליניאריות \(\MKhom\left(V,W\right)\), יחד עם פעולות החיבור והכפל בסקלר שלה9לכל \(f,g:A\rightarrow\MKfield\) הגדרנו את \(f+g\) ע"י \(\left(f+g\right)\left(x\right):=f\left(x\right)+g\left(x\right)\) (לכל \(x\in\MKfield\)), ולכל \(f:A\rightarrow\MKfield\) ו-\(c\in\MKfield\) הגדרנו את \(c\cdot f\) ע"י \(\left(c\cdot f\right)\left(x\right):=c\cdot f\left(x\right)\)., היא מרחב וקטורי מעל \(\MKfield\) (לכל מ"ו \(W\) מעל \(\MKfield\)).
- \(\clubsuit\)
- כלומר סכום של העתקות ליניאריות וכפל העתקה ליניארית בסקלר הם העתקות ליניאריות, ובנוסף, מתקיימות
טענה 5.21. נניח ש-\(V\) נ"ס ויהי \(W\) גם הוא מ"ו נ"ס מעל \(\MKfield\), ונסמן \(n:=\dim V\) ו-\(m:=\dim W\).
יהיו \(\MKclb\) ו-\(\MKclc\) בסיסים של \(V\) ו-\(W\) בהתאמה ותהא \(\omega_{\MKclb,\MKclc}:\MKhom\left(V,W\right)\rightarrow M_{m\times n}\left(\MKfield\right)\) פונקציה המוגדרת ע"י \(\omega_{\MKclb,\MKclc}\left(T\right):=\left[T\right]_{\MKclb}^{\MKclc}\) (לכל ה"ל \(T:V\rightarrow W\)).
המרחבים \(\MKhom\left(V,W\right)\) ו-\(M_{m\times n}\left(\MKfield\right)\) איזומורפיים זה לזה ו-\(\omega_{\MKclb,\MKclc}\) היא איזומורפיזם ביניהם ובפרט היא העתקה ליניארית.
יהיו \(\MKclb\) ו-\(\MKclc\) בסיסים של \(V\) ו-\(W\) בהתאמה ותהא \(\omega_{\MKclb,\MKclc}:\MKhom\left(V,W\right)\rightarrow M_{m\times n}\left(\MKfield\right)\) פונקציה המוגדרת ע"י \(\omega_{\MKclb,\MKclc}\left(T\right):=\left[T\right]_{\MKclb}^{\MKclc}\) (לכל ה"ל \(T:V\rightarrow W\)).
המרחבים \(\MKhom\left(V,W\right)\) ו-\(M_{m\times n}\left(\MKfield\right)\) איזומורפיים זה לזה ו-\(\omega_{\MKclb,\MKclc}\) היא איזומורפיזם ביניהם ובפרט היא העתקה ליניארית.
מסקנה 5.22. נניח ש-\(V\) נ"ס ויהי \(W\) גם הוא מ"ו נ"ס מעל \(\MKfield\), ונסמן \(n:=\dim V\) ו-\(m:=\dim W\).
מתקיים \(\dim\left(\MKhom\left(V,W\right)\right)=\dim M_{m\times n}\left(\MKfield\right)=m\cdot n\).
מתקיים \(\dim\left(\MKhom\left(V,W\right)\right)=\dim M_{m\times n}\left(\MKfield\right)=m\cdot n\).
5.5 מרחבי מנה
טענה 5.23. יהי \(W\subseteq V\) תמ"ו, מחלקת השקילות של וקטור \(v\in V\) ביחס ל-\(W\) היא הישרייה \(\left\{ v\right\} +W\).
- \(\clubsuit\)
- כלומר מה שיחס המנה עושה הוא "לפרוס" את המרחב \(V\) לפרוסות שכל אחת מהן היא ישרייה שמרחב הכיוונים שלה הוא \(W\).
טענה 5.24. יהי \(W\subseteq V\) תמ"ו, לכל \(v,u\in V\) ולכל \(c\in\MKfield\) מתקיים \(\left[v\right]+\left[u\right]=\left[v+u\right]\) ו-\(c\cdot\left[v\right]=\left[c\cdot v\right]\).
מסקנה 5.25. יהי \(W\subseteq V\) תמ"ו, קבוצת מחלקות השקילות (שתסומן ב-\(V/W\)), יחד עם פעולות החיבור והכפל בסקלר שלה, היא מרחב וקטורי מעל \(\MKfield\).
טענה 5.26. העתקת המנה של תמ"ו \(W\subseteq V\) היא פונקציה על וגרעינה הוא \(W\).
מסקנה 5.27. יהי \(W\subseteq V\) תמ"ו, לכל תמ"ו \(U\subseteq V\) כך ש-\(V=W\oplus U\) הצמצום של העתקת המנה ל-\(U\) הוא איזומורפיזם בין \(U\) ל-\(V/W\).
מסקנה 5.28. נניח ש-\(V\) נ"ס ויהי \(W\subseteq V\) תמ"ו, מתקיים \(\dim V=\dim W+\dim V/W\).
5.6 כפל סדרות וקטורים בווקטורים ממרחב הקואורדינטות ובמטריצות
טענה 5.29. נניח ש-\(V\) נ"ס.
- לכל \(v\in V\) ולכל בסיס סדור \(\MKclb\) (של \(V\)) מתקיים \(v=\MKclb\cdot\left[v\right]_{\MKclb}\).
- לכל שני בסיסים סדורים \(\MKclb\) ו-\(\MKclc\) (של \(V\)) מתקיים \(\MKclc=\MKclb\cdot\left[\MKid_{V}\right]_{\MKclb}^{\MKclc}\).
- תהא \(A\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) מטריצה ותהא \(S:=\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)\) סדרת וקטורים ב-\(V\), אם \(A\) אינה הפיכה אז \(S\cdot A\) תלויה ליניארית.
- תהא \(A\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) מטריצה, \(A\) הפיכה אם"ם קיים בסיס סדור \(\MKclb\) (של \(V\)) כך ש-\(\MKclb\cdot A\) בת"ל (וממילא \(\MKclb\cdot A\) בסיס).
- תהא \(A\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) מטריצה, \(A\) הפיכה אם"ם לכל בסיס סדור \(\MKclb\) (של \(V\)) הסדרה \(\MKclb\cdot A\) בת"ל (וממילא \(\MKclb\cdot A\) בסיס).